CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

une seule équation linéaire en-^ , ... , -=^ . Chacun des svstèmes

complets successifs se déduira donc du précédent en lui adjoig'nant une seule équation formée au moven de la dernière intégrale obtenue.

Dans le cas général où le nombre n des variables est supérieur à la classe c de w, la première équation (a'<^-'^)df fournit un système complet de n — c + i équations. Pour avoir chacun des systèmes complets successifs, on adjoindra au précédent une équation nouvelle distincte des précédentes, que l'on déduira de la dernière intégrale obtenue, en égalant à zéro le coefficient de l'un des monômes dans f,M—'^^dfidf, fi étaniXdi dernière intégrale calculée.

Dans le cas où le nombre des variables est pair 2/* et ésral à la classe, la méthode précédente pour déterminer un g-roupe conjugué de /"fonctions est due à Clebsch, qui n'a jamais étendu complètement sa méthode aux autres cas.

Exemple. — Considérons la forme de Pfaff (Fors\-th) w = x^lœi + œsdjCi + Xidxi + œ^dXi -\^ x^jc^ -f x^dx^ ; les formes dérivées d'ordre impair ont les expressions suivantes

w' = dXfdXi + dXfdXi + dXidxz + dx^dXi + dx^dx^ + dxidx^ w'" = — (m')* = dxidxjdxjdx^ -f- dxidx^dxtdXi + dxidx^dx^dx^ + dXidx^dx^dXi -\- dx^dx^dx^dx^ + dxidx^dx^dxi + dxidxidx^dxs -\- dx^dxidx^dxi + dxtdxsdxgdXi, «V ::= 1. («y o

D'ailleurs w"" = w"'« renferme évidemment un terme en dx^dXidXidx^dx^

qui ne se réduit avec aucun autre ; la forme w est donc de cinquième classe. Pour ramener w à une forme canonique, il faut d'abord déterminer une intégrale de l'équation

.'"<//= (^ + ^ + ^) (dxxdxidx^dx^dx^

■ + dxidxidx^dx^dxg + dx^dx^dXidx^dx^ i -^ + -^ -r -^ ) {dxtdxsdXidx^dXg

+ dXidx^dXgdxxdx^ + dxldxidx%dx^dx^) = o, G. Leçons. 12

équivalente au système complet

d,Xi Dœa D.-Cy

d.ï;2 ?>œi :>Xf,

Soil/i =0^3 — Xi une intégrale de ce système. Nous avons ensuite à

chercher une intégrale du système complet obtenu en ajoutant aux

deux équations précédentes l'équation symbolique w"c?(j73 — Xi)df-:= o.

On trouve facilement, en faisant le calcul, qu'il suffit d'adjoindre au sys-

?/" tème précédent l'équation ^i— =r o. La fonction ^2 = a?^ — a^i est une

intégrale du nouveau système.

En posant X:^ — Xi =z v/3, x^ — Xi=: y^, la forme w peut s'écrire

w =: x»dxi -f- {xi + y%)dxi + x^dx^ + x^,dy'i + x^dxi^

+ y^dx^ + x^dx^ + x^dy.^ + x^dxi^,

et on vérifie immédiatement que si l'on y remplace y^ et y«, par des constantes, on a une différentielle totale

d{xxXi + y^x^ + x^x,, + ^,0-6 + ^50,-4).

On a donc, en reg'ardantyj et y^ comme des variables,

w = d{x^x% + Xty-i + XxX^ + a^i^jg + y^x^)

+ (.z-^ — x^dy-!, + («g — a;4)(/yg,

et enfin, en remplaçant ys et y^ par leurs expressions, w = c/(cc2a;3 + a^io^e + x,,x^) + (.q?^ — x^^di^x-^ — X\)

-\-{x^—x^d{x^ — Xi).