CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

inférieure à 2m. L'expression (20) est donc aussi une forme canonique pour w, et il revient au même de mettre la forme m ou l'équation o> = o sous forme canonique. Le problème revient à la recherche d'un groupe conjug-ué de m fonctions {f^.fi, •••^y^)-

Il n'en est plus de même si w est de classe impaire 2m — i ; Bjf//"j + . • • + B„<5^,j^ n'est une forme canonique pour ro que si l'un des coefficients B/ est ég-al à l'unité. Les m fonctions (^^,^"5, ..., J"^) forment alors un arroupe de rang- 2m — i pour la forme w, et la réduction de l'équation w = o à une forme canonique est équivalente au problème suivant :

Déterminer un groupe de m fonctions distinctes {f^, ■",/„) qui soit de rang 2m — / par rapport à la forme w.

Il est clair en efl'et qu'avant obtenu un groupe de cette espèce, si l'on prend un nouveau système de variables de telle façon que les m fonctionsy, de ce groupe fassent partie des nouvelles variables, fa> ne doit contenir que les différentielles df^, ..., rf/*„^, puisque w doit être de classe nulle, quand on y remplace ces différentielles par zéro.

D'une façon générale, nous dirons qu'un groupe de q fonctions distinctes {f.fi, ••■yfq) ^st senii-conjugué par rapport à une forme w, lorsque les relations

/ \ ^fi^= ^i^ •••ijq=aq-,

^ ^ }df, = 0,...,dfç = 0

abaissent la classe de « de zq — i unités. Les q fonctions fi,fî, •■•■.fq vérifient l'équation symbolique

(22) ^i---^9+i>df...dfç = o;

inversement, si q fonctions distinctes f, . . .,fq satisfont à cette relation, les équations (21) abaissent la classe de m de 2y — i unités au moins : les fonctionsy^, ■.•■,fq forment donc un groupe con/M^Me OMsemi-conj ligué. En reprenant les raisonnements du n" 43, on voit facilement que, si q fouctionsyi, ■■■,fq forment un groupe conjugué ou semi-conjugué, r quelconques de ces fonctionsy^, .••,/*« vérifient la relation

(23) "«'-^+^>rf/«,...^y«, = o.

c'est-à-dire forment aussi un groupe conjug-ué ou semi-conjug-ué. En particulier, chacune des fonctions du g-roupe est au moins de rang- un, et l'on a

Pour déterminer un groupe semi-conjug-ué de q fonctions, on peut suivre deux méthodes tout à fait analog-ues aux deux méthodes exposées plus haut pour les g-roupes conjug-ués.

Première méthode. — On cherche d'abord une intégrale J\ de Véquation

„,io-\)df= 0,

puis une intégrale f^, distincte de J\, de l'équation

r.,(o-Z)df,df=z o,

puis une intégrale f^, indépendante defi,/^, de Véquation o.(''^-^)df,df,df=o,

et enfin une intégrale fq^ indépendante de J\, ...,fq—i de l'équation

^(C-^q+Ddf^ ^ dfqdf=z O.

Si la classe c est égale au nombre n des variables indépendantes x^, ..., £C„, on peut prendre pour/'^ une fonction arbitraire de ces variables.

En particulier, pour ramener une équation m = o, où &> est de classe 2m — i, à une forme canonique, on a à chercher successivement une intég-rale particulière de chacune des équations

^(2m-2)^y o, oi(2m-i)c/f^clf= O, . . .

rJ^)dJ\ ... df^.^df= o, ^df, . . . df^^d/= o,

puis à faire un chang-ement de variables, de façon que/j.yj» •■••,Jm fassent partie des nouvelles variables.

On a ainsi à déterminer une intégrale particulière de plusieurs systèmes complets successifs dont chacun admet toutes les intég-rales du précédent. Ces systèmes complets peuvent être remplacés par d'autres systèmes équivalents, plus faciles à former. Il suffît