CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES STMBOUQUES

pourcela de reprendre les raisonnementsdun** 44. Soit(y"j,y2, ...,J^q) un srroupe conjusrué ou semi-conjug'ué relativement à une forme w de classe c ; l'équation symbolique

(24) ^(c-Oq-i)df^ . . . d/qdf= O

est équivalente au système

(2Ô) rJc-Dfif =o, «'<• -^)d/\ d/=o, ..., J<'-^)dfqd/ = o .

On a déjà observé que toute fouctionyqul annule le produit svmbolique (a^) annule aussi tous les produits (aô). Pour démontrer la réciproque, comme la propriété est indépendante du choix des variables au moyen desquelles on a exprimé w. nous supposerons ta exprimée au moyen de c variables canoniques ',fi,fi, •••■>fq et y sont alors des fonctions des mêmes variables. Cela étant, soit CT la forme déduite de w au moyen des q relations yi = «i, . . . fq =aq ; cette forme peut être de classe c — 2y + i ou de classe c — 2q. Si CI est de rang c — 2çr -j- i, la relation (24") exprime que y est de rang 2 par rapport à m ; c'est donc une intégrale d'un système complet qui admet c — zq intégrales distinctes, en plus des intégrales évidentesy*^, ...,/q. Si ra est de range— zq, l'équation (24) exprime quey est de rang 1 au moins par rapport à TO ; c'est donc une intégrale d'un système complet qui admet c — 2q intégrales distinctes, non compris les intégrales y^, y,, ...,yq.Dans les deux cas, nous voyons que l'équation (24) est équivalente à un système complet S admettant c — 2q intégrales distinctes. Commey" dépend uniquement des c variables canoniques, tout système de q équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles du premier ordre dey est identique à "1, pourvu que ces q équations soient linéairement distinctes et admettent toutes les intégrales de S.

La première des équations (26) exprime queyne dépend que des variables canoniques; les q équations suivantes w(^— 3)^.^ ^^^ o forment comme on l'a vu (n^ 44) un système de q équations linéairement distinctes admettant toutes les intégrales de l'équation (^24). Elles forment donc un système complètement intégrable équivalent à S.

On déduit de cette proposition une nouvelle méthode pour déter-

miner un groupe semi-conjugué de q fonctions relatif à une forme w de classe ciq<^ — ^t L \

Deuxième méthode. — Soit f^ une intégrale particulière de r équation M^'^—^^dJ = o ; on cherckera une intégrale J\, distincte de f^^, du système

o,io-i)df= o, o,i'^-^)df,df= o,

Duis une intégrale /^^ indépendante de J\ etf^, du système

«(c-i)rf/= o, t,^«^-^)dj\df— o, „,{c~'i>)df^df = o,

enfin une intégrale fq^ indépendante de J\, . . .,fq-i, du système fJo-i)df= o, t^«--^)df^df— o, ... ..(«-3)c//q i(//= o.

En particulier, si la classe c est égale au nombre des variables Xi qui figurent dans w, on peut prendre pour/" une fonction arbitraire de ces variables, et supprimer la première équation a)(c-i)c//'= o dans tous les systèmes suivants.

Si nous rapprochons la première des méthodes précédentes pour déterminer un groupe semi-conjug-ué de m fonctions relativement à une forme w de classe 2m — i de la méthode du n" 43 pour déterminer un groupe conjugué de m fonctions relativement à une forme w déclasse 2m, on en déduit aussitôt la méthode générale suivante pour ramener l'équation de Pfaff m = o k une forme canonique, qui s'applique quelle que soit la classe de w.

Soit m le plus petit nombre entier tel que la forme dérivée w^-'") soit nulle. On cherchera une intégrale fii de l'équation

puis une intégrale/2, distincte de/i, de l'équation

a'^m-i)clfdf= o,

puis une intégrale/^, indépendante de f^ ^^ f^i ^^ l'équation

o.(''"'-^)df,df,df= o.