CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

enfin une intégrale f,,^, indépendante def^^f^. ...^f^^^^deV équation

^df^df^ . . . df^^df= o.

Ayant obtenu ces m fonctions fi,/.,, ...,/"„, il suffira défaire dans w un changement de variables, tel gue f^, ..., /"„, soient m des nouvelles variables.

La première équation dont on a à chercher une intégrale

J2m-2)(if—o

admet toujours, comme on l'a déjà observé plusieurs fois, 2m — i intégrales distinctes. Elle est donc équivalente à un système complet, formé de n — 2m + i équations linéairement indépendantes, que l'on appelle le système adjoint à l'équation w = o.

Pour former les systèmes complets équivalents aux équations <ai'^"'—^)d/^d/=o, e^^'^'^~^^df^df,df= o, ou peut d'ailleurs employer l'une ou l'autre des méthodes qui ont été indiquées plus haut, suivant la classe de la forme w. Nous dirons, pour abréger, que m fonctions {fii, ...,/",„), déterminées comme il vient d'être dit, forment un groupe conjugué relativement à l'équation w = o. Il existe évidemment une infinité de groupes conjugués de m fonctions pour une équation de Pfafï de classe 2w — i. Nous allons montrer que les m fonctions d"uQ groupe conjugué peuvent être déterminées par des conditions initiales analogues à celles qui déterminent les intégrales principales d'un système complet dans le domaine d'un point (jc^^, x^'^, ..., x,^^).

Soit &) une forme à n variables, de classe 2m ou 2m — i, dont tous les coefficients sont holomorphes dans le voisinage d'un point (ajj**, JC2", ...,x,^^). Il en est évidemment de même de tous les coefficients des formes dérivées successives w', w", ..., w''^'"— ■^> et, si le point (Xi^^ x^, . . . , x^) n'a pas été choisi d'une façon particulière, tous les coefficients de w'2«>— 2) ne sont pas nuls pour ce système de valeurs. Nous supposerons par exemple que le coefficient de dx^dx^ . . . dx^m—i n'est pas nul dans cette forme pour les valeurs jjj", ..., x,^'^ des variables indépendantes. Comme w(2'«-2) = c/'î'^-^vy, tous les termes de «(-'«-*) qui ne renferment que les difiFérentielles dx^, dx^, ..., dx^,^^^ ne peuvent avoir des coefficients nuls pour ce système de valeurs. En choisissant convenable^

ment l'ordre des indices, on peut évidemment supposer que (o(2/n— 4) contient un terme en dœ^ . . . g^^2»i-2 dont le coefficient n'est pas nul pour x\ = a^j*', . . ., a?„ = xj'. Il est facile de poursuivre le raisonnement et, en définitive, nous pouvons supposer que pour le système de valeurs x^'^, ..., x^" : le coefficient dedx^dx^ . . . dx^„^^ n'est pas nul dans cC^m-^i) ^ le coefficient de dx^ . . . dx^^^ n'est pas nul dans r,)'2/«-4) ;

le coefficient de dxrdxrA,-\ ■ ■ • dx=im—r n'est pas nul dans Jc^'^-'^) ;

le coefficient de dx.^^^ n'est pas nul dans w.

Pour former le système complet adjoint à l'équation w = o, il suffit d'annuler dans le produit r,^'^"'—'^)df les coefficients des monômes

CIX^CIX^ . . . (^J^im—l^'^Zm+i^

On obtient ainsi en effet n — a/n + i équations que l'on peut résoudre par rapport aux dérivées.

?X-2m ' ^X-im+i ' ■ ■ ■ ' dXn '

les seconds membres renfermant les dérivées -^ , ..., , et

:>Xi ^X-2m-i

les coefficients de ces dérivées étant holomorphes, d'après les hypothèses faites, dans le domaine du point {x^^, . . . , a;^"). Ce système est forcément identique-au système adjoint à l'équation w = o, puisqu'il renferme le même nombre d'équations linéairement distinctes. Par suite ce système admet une intég-rale «i holomorphe dans le domaine du point (a^i*', ..., x^^^) et qui se réduit à x^ pour J32m = ^2m°i •••» ^« = ^n^ ! daus le domaine du point considéré, elle est représentée par un développement de la forme

U^ = X^^ + {X, — X,^) + <X2,„(X2„,— ^2^) 4- ... 4- ^,XX,^ —^n) + ■••

tous les termes non écrits contenant au moins un des facteurs