CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

^im — ^^m^y '■'■> ^n — ^n^' ^ous poseronsyi = «i, et nous aurons ensuite à chercher une intégrale, distincte de «i, de l'équation

«(2'«-4)rfM,f//=zO.

Cette équation est équivalente à un système complet admettant zm — 2 intégrales indépendantes, y compris l'intégrale évidentewi. Ce système est donc formé de n — 2/« + 2 équations linéairement distinctes. Pour les obtenir, il suffit d'égaler à zéro les coefficients des monômes

uX^uX^ . . . uX2„^^CtX^,„^, dX^aX^ . . . uJJ^m— 2^'*^îmi • • •

du produit symbolique (ù(^"^—^)duidf. En observant que le coefficient de dxiàsiX\sdui se réduit à l'unité pour les valeurs Xj", ..., j?„**, et que le coefficient de dx^ . . . dx^^^^^ n'est pas nul par hypothèse pour ce système de valeurs, on voit que ces coefficients renferment

respectivement les dérivées — — , ..., -=^ multipliées par un

coefficient qui n'est pas nul pour les valeurs initiales considérées,

et en outre des termes en -^ , ..., — ''■^ — . Ou obtient ainsi un

système de n — 2m 4- 2 équations que l'on peut supposer réso-

lues par rapport à — — , ..., -^ , les coefficients des dérivées

^Xim - 1 "^Xn

^^ , ..., — — — étant holomorphes pour x, =j;,^, ..., x^^^xj^.

Ce système admet une intég'rale «2» holomorphe dans le domaine du point {x^, ..., a;,j") se réduisant à j?, pour J^sm-i ^ ■^°2»n-i» •••

Cette intégrale est évidemment différente de u^, et on verra de même que l'équation symbolique

fj.^'n-^)du^du^df= o

peut être remplacée par un système complet de n — 2m -f- 3 équations qui admettent une intégrale 11^, indépendante de «j et u^, holomorphe dans le domaine du point {x,^, . . . , j?/) et se réduisant à a?3 pour

•^im—% "^ 2«i— 2» •••> •*'n "^n •

Il est clair que le raisonnement peut se continuer jusqu'à la dernière équation

(àdu^^ . . . du^^df ^= o,

qui est équivalente à un système complet de n — m équations admettant une intég-rale m,,^ holomorphe dans le domaine du point {x^\ ..., x,,o), se réduisant à x.,^ pour a?,„+, = x\+,, ..., x^ =a?/. En résumé, on obtient ainsi un groupe conjugué de m fonctions {u^, u^, ..., M„J, qui sont holomorphes dans le domaine du point (Xj", ..., xj^), et qui se réduisent à x^, . . ., x.^^ respectivement, lorsqu'on y fait

^ in+ii •••' "-^n "^n ■

Nous dirons pour abrég-er que ce g-roupe est un groupe princi" pal relativement au système de valeurs initiales x^^, ..,., xj^.

47. Solutions singulières. — On a déjà remarqué que l'équation g-énérale de Pfaff peut admettre certaines intégrales auxquelles ne correspondent pas d'intég-rales de l'équation ramenée àsa forme canonique (no 16). Il est possible maintenant [de voir comment on peut définir d'une façon précise ces intégrales et reconnaître s'il en existe. Soient w = o une équation de Pfaff de classe im — i à n variables, et M/j une multiplicité intégrale à h dimensions de cette équation. Nous supposerons que l'on peut trouver sur cette multiplicité un point {x^^, ..., xj*) tel que tous les coefficients de M soient holomorphes dans le voisinage de ce point, et que tous les coefficients de w^^^i— 2) ne soient pas nuls pour ce système de valeurs. Nous allons montrer que cette intégrale Mh peut être obtenue par la méthode générale de résolution exposée antérieurement (n" 15).

On vient de démontrer en effet qu'il existe m fonctions M^, «2? •••■> ''to> formant un groupe conjugué pour l'équation « =o, holomorphes dans le domaine du point (jJi", ...,x^^^) et se réduisant respectivement k x^ ■•, x^, quand on y fait ic^^^= x^m+v ••■■> x^ = xj'. Ces m fonctions forment évidemment avec x^^^, ..., x^^ un système de n fonctions distinctes, et si on les prend pour variables indépendantes, l'équation w = o devient

(26) w = Uic/a^ -I- . . . + U^(/m^=o,