CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES STMBOUQUES

Uj, Uj, . . . , U^ étant des fonctions holomorphes de u^. . . ., u^, jc„+i, ..., x^ dans le domaine du point a, =0','', ..., u„, = xj*, x^^i = x'^^^^, ..., x„ = x^. Le coefficient U^ n'est pas nul pour ce système de valeurs, car U^* est ésral au coefficient de dx^ dans 6j pour les valeurs Xi°, ..., x^. d'après la définition même des fonctions a,, ..., u^, et par hypothèse ce coefficient n'est pas nul. Pour obtenir toutes les iotésrrales de l'équation u = o passant au point considéré, on peut donc diviser tous les coefficients par U„,, ce qui ramène l'équation à la forme canonique

(27) v^dii^ + . . . + y„.irfM„^i + du„^ = o.

t>j, Wj, ..., w„i étant aussi des fonctions holomorphes de a;^, ..., x^ dans le domaine du point {x^\ ..., xj). Les 2m — i fonctions «1» •••» «m» ^1' ^ii •••» ^»i-i sont distinctes, sans quoi l'équation (0 =:r o serait de classe inférieure à 2/« — i .

Par hypothèse, l'intéerrale Ma de l'équation &> = o est représentée par un système d'équations

Xi-=çi{t^, .... //,) / = I, 2, ..., n),

les n fonctions 91 étant holomorphes dans le domaine d'un système de valeurs /j", ..., t/,^ pour les h variables t^. ..., /a, et prenant les valeurs Xi^, ..., x„^, pour /^ = /j", ..., /^ = 'a". En remplaçant

x^, ..., j"„par 9j 9„ dans les 2m — i fonctions Ui. Vk, on a les

équations d'une multiplicité intégrale M' de l'équation transformée. Imaginons que l'on ait pris pour variables «,, ..., «„, Vi, ..., i»„,i, et n — 2m -|- I des anciennes variables x,, x„. La multiplicité M' est définie par un certain nombre de relations entre les variables «/, ua-, et la multiplicité M/i s'obtient en adjoigant aux relations précédentes un certain nombre d'autres relations où figurent les autres variables. Cette intégrale M/, peut donc être obtenue par l'application de la méthode générale du n° 15.

Les seules intégrales auxquelles ce procédé ne s'applique pas sont donc les intégrales (') telles que les coordonnées de tous leurs points annulent tous les coefficients de &j'-'"-^>.

(') Nous laissons de côté les intégrales telles que l'un au moins des coefficients de w cesse d'être holomorphe dans le voisinage de l'un quelconque des

Nous appellerons intégrales singulières les intégrales de l'équation M = o satisfaisant à cette condition.

Pour qu'il existe des intégrales singulières, il faut donc que les équations obtenues enég-alantà zéro tous les coefficients de a)(2w— 2) soient compatibles. Si ces équations n'admettent pas de systèmes de solutions communes formant une multiplicité à r dimensions (r^o), il n'existe pas d'intégrales sing-ulières. Si ces équations définissent une multiplicité, cette multiplicité peut se décomposer en plusieurs multiplicités analytiquement distinctes. Soient

les équations qui définissent Tune de ces multiplicités Mn-h- Le système (28) étant supposé mis sous forme normale, on peut tirer de ces équations h des variables, cr^, ..., .r/i par exemple en fonction des n — h autres variables, et en remplaçant x^, ..., Xh par leurs expressions dans l'équation proposée, on sera conduit à une nouvelle équation de Pfaff w^ = o à n — h variables, dont toute intégrale fournira une intég-rale sing'ulière de l'équation proposée. Cette équation w^ = o peut avoir elle-même des intégrales singulières, que l'on recherchera de la même façon. Il est clair que cette suite d'opérations aura un terme, puisque le nombre des variables va en diminuant quand on passe d'une équation de Pfaff à la suivante.

Remarque. — 11 pourrait se faire que l'équation w = o admette des intégrales singulières, telles que les coordonnées de tous leurs points vérifient non seulement les relations (28), mais aussi celles que l'on obtient en égalant à zéro tous les jacobiens des A fonctions /"i, ...,fh, par rapport à h quelconques des variables X\, x.2, ..., Xn,- En adjoignant aux relations (28) ces nouvelles équations, on obtiendra un nouveau système que l'on étudiera comme le premier, s'il est compatible, et ainsi de suite.

points de cette intégrale. Par exemple l'équation

w zz xdx -\- ydy -\- ^i — œ^ — y^d: ziz o

admet des intégrales à deux dimensions qui sont des sphères de rayon un ayant leur centre sur or. Elle admet en outre pour intégrales le cylindre x''' -\- y^ zz: I, et toutes les courbes de ce cylindre.