CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
Exemples : lo Soit l'équation de PfafF
oj := x^djci + JCsdjCz + JCidjCi -{- JCidœ^ = o ;
on a
w' =z dxidxi + dxidx^, '.t'" = — (w'i* = — dxidxidxzdXi,
ojiv =: — XidxidXidxzdXidx^, w^' = o.
On a ici m = 3, «(S/n-î) ;= 'jiv. Toute intégrale singrulière doit appartenir à la multiplicité Xi = o. En tenant compte de cette relation, l'équation proposée se réduit à
x^dxi = o,
dont l'intégrale générale est Xt =. a, et qui admet aussi une intégrale singulière x^^o L'équation proposée admet donc des intësrrales singulii^res à trois dimensions, représentées par l'un des systèmes d'équations
(a) Xi = Xit =L o, (|3) Xi =:o. Xi =z a,
où a est une constante arbitraire. Toute multiplicité à une ou deux dimensions située sur une des multiplicités précédentes est aussi une intégrale singulière 20 Considérons l'équation non complètement intégrable
w = AidXi + A^Xi + Ajrfccs =. o,
où Al, A-2, A3 sont des fonctions de Xi, Xi, x^. Dans ce cas //? = 2, et l'on a
+ A. (^Al-'Al\ + A, {^J^-^-^'\dx,dx,dx,. Toute intégrale singulière doit satisfaire à l'équation
qui, par hypothèse, n'est pas vérifiée identiquement. Si les variables figurent dans cette relation, on pourra exprimer l'une des variables au moyen des deux autres et, en portant dans léquation oj := o, on obtient en général une équation de Pfaffà deux variables. L'équation proposée admet donc en général une infinité de solutions singulières à une dimension.
Prenons par exemple (*)
w t= a;j(i — xi^ — x%^)dxi + XtX^dXi + x^^dx^ = o ; la condition (29) est ici
•i.x^x^sc'é.x^^ + a?2^ + j?32 1) — o
Cette équation se décompose en quatre autres et, en traitant séparément chacune d'elles, on obtient trois familles d'intég-rales singulières il une dimension
(«) X\ ~ o, Xi"^ + ^3" = a,
(7) x^ = o, Xi = a,
a étant une constante arbitraire, et une intégrale singulière à deux dimensions
48. Intégrales appartenant à une multiplicité donnée. — La détermination des solutions singulières, de même que l'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre (no^ 18, 20) conduisent à rechercher les intégrales d'une équation de Pfaff appartenant à une multiplicité donnée, c'est-àdire telles que les coordonnées de tous leurs points vérifient un système donné de h relations distinctes du premier ordre
(3o) /i(iCi, ^2, • . • , x,^ = o, /a = o, . . . ,/a = o.
Ainsi qu'on l'a déjà indiqué au numéro précédent, ce problème se ramène au problème général. Les équations (3o) étant mises sous forme normale, si l'on tire de ces h. équations les expressions de h des variables au moyen des n — h autres variables, et qu'on les porte dans ij = o, on a une nouvelle équation de Pfaff wj =z o an — h variables. On peut déterminer a priori la classe de la nouvelle équation de Pfafl" au moyeu du lemme suivant.
Soit p le plus petit nombre entier tel que tous les coefficients du produit symbolique ià(P)df ... dfh soient nuls en tenant compte des relations [3 o) elles-mêmes. Ce nombre p est égala la classe de la forme de Pfaff m^ déduite de <>> par la substitution précédente.
(*) Gartan, loc. cit., p. 282.
