CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

Imasrinons en etFet que l'on prenne un nouveau système de variables {i/i, ..., yn) tel que yi, ..., yh soient identiques à /t' ... ./a ; on peut toujours faire un changement de variables de cette espèce en considérant un système de valeurs (oti", ..., J7„**) satisfaisant aux relations (3o), et tel que toutes les fonctions fi, ..., fh soient holomorphes dans le voisinaare de ce système, sans que tous Jes jacobiens des h fonctions f^^ . . .,fh par rapport à h quelconques des variables j?,- soient nuls pour les valeurs Xi = Xi^. Si Ion pose y^ =/i, ..-, y/t =ffi, on peut tirer en eflFet de ces h équations les expressions de h des variables xi au moyen de y,, ..., y/i et des n — h autres variables Xi, et ces expressions seront des fonctions holomorphes dans le voisinaare du système de valeurs correspondantes des nouvelles variables. Toute fonction holomorphe de Xi, ..., x„, dans le domaine du point (j?^*', ..., J?„''), se chang-e en une fonction holomorphe des nouvelles variables dans un autre domaine, et la forme w est remplacée par une nouvelle forme

(3i) ro = B^dy^ 4- . • • + Bhdyft -f Bh+idyk+i + ... -f Bndyn,

B^, ..., B„ étant des fonctions des nouvelles variables. La forme wj déduite de w par la substitution dont il s'ag-it est identique à la forme nTy

CTo =: B^h+idyh+i + . . . + Bn^dyn,

déduite de m, en remplaçant y j, ..., yn^ dy^, ..., dyn par zéro, avec le nouveau système de variables. Il est à peu près évident que u'ose déduit de o' par la même substitution. En effet, si dans la forme ro'

ct' = dB^dy^ 4- . . . -f- dBhdyh + dBh^idyh+i + ... -f dBndyn

on fait ^j =: y.^ = ... yh = dy^ = . . . = dyh = o, il reste la forme

imvy^-^"^

l'indice o indiquant que l'on remplace y^, ..., y/, par zéro après la différentiation. Mais on a aussi

192 LKÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

car il revient évidemmeiU au même de remplacer ?/j, ... ,y/j par zéro avant ou après la différentiation. La forme obtenue est donc identique à la forme dérivée de nj^,,

ayh^jdijh+i-

Les formes dérivées successives de nr se déduisant de n et de cr' par des multiplications symboliques, il est clair que la forme CTo'P* se déduira de nj'/'j en remplaçant dans celle-ci les variables ij^, ..., i/h et leurs différentielles par zéro, quel que soit/?.

D'autre part, le produit (ù(p)df^ . . . dfh se transforme en ts^P' dy^ . . . dyh par le chang-ement de variables effectué plus haut. Il est clair que si l'on remplace y^, ..., y/i par zéro dans tous les coefficients de ce produit symbolique, il se réduira, en tenant compte des produits partiels nuls, à

rsJP)dy^ . . . dyn.

Ce produit est donc nul si p est ég"al ou supérieur à la classe de cTg, et dans ce cas seulement, ce qui démontre lelemme énoncé. Remarquons que l'abaissement de la classe quand on passe de CT à cîo peut être supérieur à 2h (Cf. n" 43). Si par exemple on fait x^ = o dans la forme x^tu, la classe s'abaisse de c unités, si cette forme est de classe c.

Nous pouvons dire encore, en nous reportant aux résultats du n° 46 que si m est le plus petit nombre entier tel que zj('^"^)df^ , . . d/h ait tous ces coefficients nuls en tenant compte des relations {So) elles-mêmes, V équation m = o est remplacée par une équation de Pfaff de classe im — i quand on y fait la substitution précédente.

Pour ramener à une forme canonique cette nouvelle équation, qui s'écrit t;sq = o avec les variables ^/j-j-i, . ., yn-, on a rechercher une intégrale particulière de m systèmes complets successifs. En se reportant aux résultats précédents (n° 46), on peut écrire ces systèmes complets avant tout changement de variables. En effet, on voit aisément, en reprenant le raisonnement de tout à l'heure, que si tous les coefficients du produit symbolique

^,[2m-^2k)df . . . dfhdfh+i ... dfk