CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES

a e LE # ® e !

4. Interprétations du covariant bilinéaire. — Le covariant w intervient dans le calcul de la première variation de l’intégrale f. et

cette interprétation rend intuitive la propriété d’invariance relativement à un changement de variables.

Considérons une forme de Pfaff à un nombre ne de variables indépendantes, LE

wo — Xidai + .: + X,dæx»,

X,.:.X, étant des fonctions de æ41, æ, ..., ©. Ces n variables étant regardées comme les coordonnées d’un point dans l'espace à n dimen-

sions, les n équations

=} i(t) EE DA

où { varie de {, à 4, représentent dans cet espace une variété à une dimension ou courbe T, et l’intégrale définie

[ X,dæ:1 +... + DETTE 10e 4

où l’on a remplacé æ;i par filé) et dæxi par f'i(t)dt, est encore appelée une intégrale curviligne prise le long de l' et représentée par

= fx, + + Xadilne e r É

Quand on remplace la courbe l par une courbe infiniment voisine, l'intégrale prend un accroissement dont nous allons calculer la partie principale. Il suffit d'appliquer à ce cas particulièrement simple la méthode générale permettant de calculer la première variation d’une intégrale ; j'indiquerai rapidement le calcul. Pour cela, imaginons

une famille de courbes variant d’une manière continue avec un

paramètre « etse réduisant pour « — o à la courbe l. Soient x; — fi(é, «) les équations de cette famille de courbes, la fonction fi(£, o) étant identique à fi (#).

Nous supposerons Fe les limites 4 et , sont elles-mêmes variables avec «, et nous avons à à calculer la dérivée l’(x) de l’intégrale définie.

I (x) = RE. a t

par rapport au paramètre a. La formule classique de différentiation

Rr | de Ft D ee Nr) Re dXi dfn dfi dt 7 : | :

F9 | de ee Sert e to 2 .

f Sos DE li 1=1 k

du. n - è | a D A Pt g,afi |.

DÉTPAEES ot da de dt #

il - At=h D AE LES ee par parties la de. intégrale, on peut la remplacer par

= ë Da Vo ot EU Er ii le lo ÿ—1 AR

Dans le produit SL = l' («)d«, on a sous le signe d'intégration les.

termes suivants, en pou DRE =À d&, > | à

sh ide de fs ëæ)

to 1 (ii XLCn |

i= ARC, | ;

5 Æ L ER rent) A) 14

Des oXi se Si f Don PE ou, en Dos ge ce les die i et k dans la seconde intégrale,

122 ee se) FRET (ex Ti

Quant aux ternico eu dehors ‘du signe Fe , en les réunissant, on a

l'expression suivante :

el | L=— t=ti RS A Fit ot [Aus , afSny] - [Sa 2290 PE DI/2 | Jié=th 1= tt

AE