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RL. + LE RE me
(‘) Ces nouvelles méthodes ont été.employées simultanément par G. FroBE-
nius : Ueber das Pfaffs’'sche Problem. Journal de Crelle, t. LXXXII (1877), pp. 230-
315, et par G. Darsoux : Sur le problème de Pfaff. Bulletin des Sciences mathématiques, 2° série, t. VI (1882), pp. 14-36, 49-68.
Lo CAPE va en Des
16 | LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF. 14 / al j { Différentions la première par rapport à v, la seconde par rapport ‘à à u, et retranchons membre à membre; les dérivées du second "ES
ordre disparaissent, et on aboutit à une nouvelle relation où ne St
figurent que les variables æ;, yx, et leurs dérivées du premier ordre par-rapport aux paramètres :
n / £ \ nn. . \ 2Xi 024 Fe Qu L Xi dE (DLi 2XR Le AC 2XR IT» (ox Ée (oc dv : DEn dv | 0 | Tir DL QU \ dv 2-1 / k=1 ) on | n QUE F ur DV og ne 9 DYE SUn (OU NS nn 2Yx dYn rt RE Dyn 20 (Ou A) 0y: ni 7 oyn du (dv 1e | gs L:
Le premier membre de cette RSTAtIOE renferme dans termes
dXi dX Xi Ti TR ont les coefficients sont =? et — PAR ; ce premier |
membre:est donc égal à | | | +
À ee D si dXi DTR.
‘ | | ou 2p.
le coefficient a;x ayant la même signification que plus haut,
(16) | DSC dose nn et la sommation étant étendue à tous les arrangements deux à deux des indices. L, ke. En tenant compte de l'égalité a;x + aRi 0; on peut e encore écrire ce premier membre
& DLIidLTRkR DXidTR DAT EE À
ou OÙ dv du
ATRURE
la sommation étant maintenant étendue à toutes les combinaisons deux à deux des indices &, 4. Nous conserverons cette écriture dans la suite. Le second membre de la relation obtenue a une |
expression analogue
où l’on a posé
HS AUS RAR
CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. S TNEA Multiplions les deux membres de la relation
di dx dxi dx Qui à Qui 9 Yan Cu na =) = Y' bin te yi 2 LA 1 À
OU dv 00 du
par dudv ; elle peut s’écrire sous une forme plus abrégée
(17) > air (dRidtr — drrdti) — 2 bin (dydyr — dyrdyi), i, R i, À ci posant
dTi di dyi dei = u, di = dv, dyi =" du, Sy = do.
Remarquons que l’on a toujours, pour les deux systèmes de
différentielles, HD SEE AE, OT (18) : . dYn Bars — “7 da ee + ES 5 1 . Un n;
et l’on passe du ee membre de l'identité (17) au second” membre en remplaçant dans ce premier membre les variables Lys Lys ., En et les deux systèmes de différentielles dæ;, Ôxæ; par leurs expressions au moyen des variables y;, et des deux systèmes correspondants de différentielles dy;, ôy:, qui se déduisent des formules de transformation par lesquelles on passe de la première forme XX; -dæi de w à la seconde forme ZY;dy;.
Le premier membre de l'identité (17) est appelé le covartant bilinéaire (*) de la forme w, dénomination qui se justifie d’ellemême. On représente ce covariant par w',
(19) TC — ds air (dxidxr — dxxdti), : i, k
notation qui sera justifiée plus tard. Remarquons que, pour
former ce covariant w’, il est inutile de calculer séparément tous
les coefficients a;7. Il est en général préférable de se servir de
l'expression symbolique
— Ôw (d) = du (Ô),
(!) Lirscurrz (Journal de Grelle, t. LXX, p. 73). G. Prob. 2
48 LEÇONS SUR LE | PROBLÈME DE PFAFF. LS à ee
w(d) étant entone à w, a tu (5) pas ce que devient w(d) + SES quand on y remplace d par 8; on doit en outre tenir compte, dans : 1 le calcul, de l’identité Sdx; — dix. o OO
REMARQUES. — 1° Lorsque la Pre w est une différentielle totale = 770 exacte, tous les coefficients air sont nuls, et w’ se réduit à zéro. Be Inversement toute forme de Pfaff dont le covariant bilinéaire est identiquement nul est une différentielle totale exacte ; | |
2° Quand on multiplie la forme par un fictie constant € TES w’ est multiplié par le même facteur, mais il n’en est plus de même quand on multiplie w par une fonction de Lys ++: Æn. SO ne Line Ln)0 ; on à TS
o— -$a(d) — — da (5) —5k. w(d) Rn(d)— dk. ®—, kdo &y.
ou ; | Fe
o — kw ; DE — (de,
Ni 17 a
D'une façon générale, soient ds da deux formes quelconques de Pfafr : LA Fa ns É |
o, = A,dx, 1 us = Hu HS PB
on représente par [w,, w,] la forme bilinéaire
[A,dx, “= HS “ Andtn] Le y +. en Brôtn] sé | LAièe, + + Ami] [Bd, + + Bndan] RC She Cr > (AÏBx— AB) (der — dm). |
LU
Avec cette notation, le covariant bilinéaire de Fe forme ko a pour
expression MÉTR A Re :
(ko) — kw! ER dR]. M D’ que ES définition même, les coefficients aix vérifient, ‘COMME -; "NE
on s’en assure aisément, les relations
Daik dakl. LT TN à Le 3:22
Go). | ue ai = 0. Re SE nt ON NE # “4 pour toutes les combinaisons dns ‘Inversement, si n° fonc- «ES se lions aix des variables CARRE L7 péri fient les relations (20), la CS É* forme bilinéaire ; VERS ÉPRERS js £ Co re re TE a : à DE AS Was ( r Frs
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Rats CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. . 19 où la sommation est étendue à tous les arrangements des indices
à, k, deux à deux, est le covartant bilinéaire d'une forme de Pfa ff. En d'autres termes, il existe un système de n fonctions X2 ee 5 An
: I des variables x,,æ,, .…., æ,, satisfaisant aux re) relations ser pe LR Vos à 2
TRS ARTS US Xi he:
Le Que Re A î
= La proposition est classique pour n — 3. Pour démontrer qu'elle est générale, supposons-la établie dans le cas de n — 1 variables,
rret considérons les ñ — 1 ‘équations précédentes où i— — 1, et pre-
pose = 0. Elles donnent SR Ne: | HORRE ; 2X} | :
——— = — É Pr AR a 1%» È aelpar sure. ATEN Le A RT
, : a ENST : É vie ke | Ni — — | elite Tdi) Has e). (R= 2,90 n).
MST (} À ARE NE. 5 2
En tenant compte des conditions (20), que l’on suppose véri- … fiées, les autres équations (21), où # et. A sont r supérieurs à un, deviennent | ;
Der Fe ee on Zn) = be (a - a)
Ces équations forment un Feet de même: forme que le premier, avec une variable et une inconnue de moins. D'autre part, si l’on fait 3 — C, dans les relations (20), où tous les
Le indices sont plus grands que un, on obtient un système de rela-
Z tions de même forme ES rx RAS OŸ dbik 4 DbIE RS r f 20 ES bri — 0, pre ; ( ) ik & ki s Sp + —— ere Res | sur La proposition. étant vraie pour 7% — 1 variables; AIS est one:
générale. Connaissant une première forme de Pfaff ayant un cova- |
riant bilinéaire donné, on aura toutes les autres formes ayant le
même covariant en ajoutant à la Rose une différentielle exacte. issus
… Deux éléments linéaires (dx, dæ,, …, dæ,), (as, .…., da, du même point (x,, &,, .…, æ,) sont dits en involution si les deux
systèmes de différentielles dx, dti vérifient la relation w' — 0. Il
résulte du calcul qui a conduit au covariant bilinéaire que deux éléments linéaires intégraux appartenant à une multiplicité intégrale à p dimensions(p > 1) sont en involution. Si l’on prend en effet sur cette intégrale M, une intégrale M,, telle que les coordonnées d’un quelconque de ses points soient exprimées au moyen de deux RÉRRE U, V, ces ñn fonctions vérifientles deux relations
dCi l x OT; Lien 0, ÿ Xi — 0; F
d’où l’on déduit, par le calcul fait plus haut, que les différentielles dæx;, x; correspondant respectivement à des accroissements du et uv des paramètres, vérifient la relation w!— 0. Or on peut toujours supposer que les courbes 4 — C, v — C' qui passent par un point de M, sont tangentes respectivement à deux éléments linéaires te de la multiplicité intégrale considérée issus de ce point.
Il résulte aussi de la propriété d’invariance de w' qu’à deux éléments linéaires en involution (dy dy) (07200) de l’espace UN AE) correspondent deux éléments ae en involu- UOTE SE UE (0, 82,) de l’espace (x, æ,, .…., æ,):
on aussi que deux éléments linéaires intégraux en involution de l’équation w — o sont des éléments linéaires intégraux en involution de l'équation Q — Æw —0, quel que soit le facteur #4.
Geci nous amène à considérer quatre espèces d'éléments linéaires possédant des propriétés spéciales :
19 Les éléments linéaires quelconques qui sont en Fe avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.
2° Les éléments linéaires intégraux qui sont en involution avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.
3 Les éléments linéaires quelconques qui sont en involution avec tous les éléments linéaires intégraux issus du même point.
{4° Les éléments linéaires #ntégraux qui sont en involution avec tous les éléments linéaires :ntégraux issus du même point.
Les éléments linéaires de chaque espèce sont définies par des Systèmes d'équations linéaires en dx, …, dæ,, que nous allons étudier. Ces quatre systèmes se réduisent toujours à deux systèmes distincts, comme nous le verrons dans les paragraphes suivants.
