CHAPITRE 1:11. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

classe c = 0 — r. Le nombre r est le rang de la fonction f relativement à la forme ©.

Supposons Q ramenée à une forme réduite, c’est-à-dire exprimée au moyen de c variables y,, y2, ..., ye, et de leurs différentielles. Si la fonction donnée f ne s’exprime pas au moyen des variables Yir +, ÿe Seulement, mais renferme d’autres variables, il est clair que la relation f — Cne modifie pas l’expression de la forme réduite, et par suite le rang de f'est égal à zéro. Les seules fonctions f(x1, ...,æ,) dont le rang relativement à une forme 9 n'est

pas nul sont done les intégrales du système S + S', dont l'ordre

est égal à la elasse de a.

Pour trouver le rang d’une fonction f(x, ...,æx,), on peut appliquer la règle générale suivante (1).

Sotent c la classe de la forme à, et y la classe du produit symbolique adf ; le rang de f relativement à la forme à est égal à. CE SE Le

Supposons toujours Q mise sous une forme réduite, où figurent seulement les variables y,, ..., ycet leurs différentielles. Si la fonction f est indépendante de y,, ..., ye, il est clair que le produit Odf est de classe e + 1; il est d’ailleurs aisé de s’en assurer en observant que le système S + S'relatif à ce produit contient une équation de plus, soit df — 0, que le système correspondant à la forme Q. On a dans ce cas y = c + 1, et par suite r — 0, conformément à ce qui vient-d’être énoncé.

Si f est une intégrale du système $ + S', nous pouvonsévidemment supposer que l’on a f— 7y,. Nous pouvons écrire A —H,

- +ILdy,, U, et roétant deux formes de degrés p et p — 1 respective-

ment, la première 11, ne renfermant pas dy,. Soit c, la classe de la forme 11, quand on y regarde y, comme un paramètre ; ce nombre e, est inférieur à c, et le rang de y, est c — ci. D'ailleurs on a Q —= Ody1 = U,dy, et par suite Q,'= n,'dy,, n,' désignant la forme dérivée de il, où l’on regarde y, comme un paramètre. Les équations du système S + S' qui déterminent la classe de la forme a, s’obtiennent donc en adjoignant la relation dy, — o aux équations du système analogue dont l’ordre est égal à la classe de

{!) Comptes rendus, t. 165, p. 541, 1Q17.

la forme 11, où y, est regardé comme un paramètre, On a donc

Ÿ= G + 1, et par suite r — C—""Y + Je

Il est à remarquer que l'énoncé est en défaut si 1, disparaît ; dans ce cas y et c, sont nuls, et y, est de rang: c. Ceci ne peut arriver que si la forme à est divisible par un facteur df. Pour qu’une fonction f soit de rang r, il faut donc que le produit adf' soit de classe c — r + 1. En écrivant que les équations du système correspondant S + S' se réduisent à c — r + 1 équa-

tions distinctes. on a un système d'équations aux dérivées partielles , .) , P |;

simultanées du premier ordre auxquelles doit satisfaire, la fonction f. Ces systèmes n’ont pas été, je crois, étudiés Jusqu'à présent.

ExemPce. — Soit Q — dxidæidæ + dx,dx,;dx;; on a ® = p, Qdf = dxidxdxa(pidæs + pds + pdt) Sr

+ dx,dx;dae (pdt + padre + pds), - pi= AE

Les équations du système S’ relatif à Qdf donnent les 6 conditions dæi = 0, à moins que l’on n’ait à la fois pi = Pe — ps —0,oup; —=P; —=p;= 0. Il y a donc deux familles de fonctions de rang rois, les fonctions F(x1, æ+, æ3) et les fonctions P(L4, Lys, &). Toute autre fonc-

tion est de rang un.

Remarque. — Il n’existe pas toujours de fonctions de rang supérieur à un pour une forme symbolique Q. Soit par exemple @ une forme du second degré de classe 5 ; s’il existe une fonction de rang deux par rapport à cette forme, on peut, par un choix convenable des variables, l'écrire

UN ridtadTs + (Aides + Ado + Asdtz + A,dx)dæs.

La forme la plus générale du second degré à cinq variables ne peut être ramenée à cette forme, car-elle dépend de dix coefficients arbitraires, Q n’en renferme que quatre, et le changement de variables le plus général n’introduit que cing fonctions arbitraires. |

GÉNÉRALISATION. — On peut généraliser cette théorie, en considérant un groupe de fonctions au lieu d’une fonction unique. Soient f, f,,...,/4 un système de q fonctions distinctes des varia-

bles indépendantes. Si l’on prend un nouveau système de varia-

bles, tel que f, = y, ..., fa —= ÿas 1 peut arriver qu’en faisant