CHAPITRE Il. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

conques linéairement distinctes, la classe de l’équation Q — 0 est égale à la classe du système de Pfaff formé par les p équations wi; = 0 (Voir plus loin Chap. NT). |

37. Remarques sur l'intégration des systèmes précédents — Les systèmes S’, S + S', ne sont pas dés systèmes différentiels quelconques. St l’on connaît toutes les intégrales du système S', sauf une, on peut achever l'intégration par une quadrature. Supposons que le système S’ se compose de r équations distinctes et que l’on connaisse r — 1 intégrales premières. On peut supposer que l’on ait effectué un changement de variables tel que ces intégrales premières soient Yas Yas ..., yr—1. Les r équations distinctes du système S’ doivent donc se composer des r — 1 équations dy; = 0, ..., dyr 1 = 0, et d’une seule équation distincte de celles-là. En d’autres termes, les équations du système S’ doivent se réduire à une seule, quand on y fait dy = 0, ..: dyr—1 = 0. Elles ne peuvent d’ailleurs être toutes vérifiées identiquement après cette substitution, car le système S' ne comprendrait alors quer — 1 équations distinctes au plus. Tous les coefficients Biri, où deux des indices sont supérieurs à r — 1, doivent être nuls. Supposons, par exemple, que l’on ait Bixr = 0, het k étant supérieurs à r — 1. Les deux équations du système S’, où l’on a fait dyi —=0,... dyr-1 = 0,

n LL > Binidy, = 0, à Binidyy = 0, IT - : ;

ne peuvent se réduire à une seule, car la première contient un terme en dyn et ne contient pas de. terme en ‘dur, tandis que c’est l'inverse pour la seconde. |

Cela étant, prenons un système de valeurs pour les indices à et X tel que tous les coefficients Bix (où / r) ne soient pas nuls. La relation générale

0Birt 0Bnik OBihi 0Bhir oyh oui OUR ol devient, puisque Bzin = Bini = 0, si l'et A sont > r,

Bit 2Bikh y y

(49) (Gh=rrEir, x n).

a Le premier membre de l'équation Dà Bikidy; = 0, où l’on regarde l=r Yo +.) Yr—1 Comme des paramètres, est donc une différentielle exacte,

et la dernière intégrale s’obtient bien par une quadrature. G. Leçons. 10

Le théorème classique de Jacobi sur le multiplicateur peut être con-

sidéré comme un cas particulier de cette proposition. SUppusans en effet que le système d’équations différentielles

HIDE AL CE ES mr:

Le RE Et

admette pour multiplicateur l’unité, c’est-à-dire que l’on ait

dA; x | es SEA DE

, Sin est impair, par exemple, la forme < | Qn1 = Aide ... dan + Ads .., dOndæs + ... + And .., d&n-1 est une différentielle exacte (no 26), et le système S’ correspondant est identique au système donné (50).

On démontrerait de la même façon que, si l’on connaît toutes Lo

intégrales du système S + S’ sauf une, les intégrales connues comprenant celles du système S', on peut trouver la dernière intégrale par une quadrature.

Dans le cas où l’on a c = y + 1, on a vu au numéro précédent que si l’on a intégré le système caractéristique, on a sans aueune intégration la dernière intégrale du système S + S'. Quant au système caractéristique lui-même, l'exemple cité à la fin du numéro précédent prouve qu'il peut être un système complètement intégrable quelconque.

38. Rang d’une fonction relativement à une forme symbolique. — Soit Q une forme symbolique de degré p à n variables, et de classe o. Si, dans cette forme, on remplace r une des

variables, æ, par exemple, par une constante C et dx, par zéro, on.

obtient une nouvelle forme -à n — 1 variables a, de classe G—=c—r,r étant positif ou nul. Nous dirons que r est le rang de x, relativement à la forme ©. Plus généralement, f(æ, .…, æ,) étant une fonction quelconque, supposons que nous établissions entre les n variables x; la relation f —C, d’où résulte la relation df—= 0 entre leurs différentielles. Ce cas se ramène immédiatement au précédent par un changement de variables.Si par exemple f'contient x,, on peut conserver les variables x,, ...,æ, ; en remplaçant x, par sa valeur tirée de f = C, et dæ, par sa valeur tirée de df = 0, on obtient une forme Q,, à ñn —- 1 variables, et de