CHAPITRE INT. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Yi Gi, dy; =0(i—1,2,...,g) dans la forme 9, la classe de la nouvelle forme soit inférieure de 7 unités à la classe de la forme 0. On dit alors que le groupe de fonctions (f,,f2, ..., fa) est de rang 7 relativement à la forme Q. Pour que r soit positif, il faut et il suffit que, parmi toutes les fonctions de la forme æ(f,/,,.…., fa), il y ait une ou plusieurs intégrales du système S + S'; la démonstration est toute pareille à la précédente. On peut donc se borner à étudier les groupes formés d’intégrales du système S + S'. Soient, par exemple, f, et f, deux intégrales de ce système, de rangs, et r, respectivement ; si les relations f, — Ci, f, — GC, abaissent la classe de Q de r unités, r est le rang du groupe (/,,f.). Il est à remarquer que r est au moins égal au plus grand des deux nombres r,, r,, mais il n’est pas forcément égal à 7, + r,. Ainsi, pour la forme de Pfaff wo — y,dz, + y,dz,, les fonctions y,, y, sont de rang un, et 2,, z, sont de rang deux ; les couples (y,, £,), (Y2, £2)

sont de rang deux aussi, les couples (2,, y), (22, y), (Yas Ye) sont.

de rang trois, le couple (z,, £.) est de rang quatre. Voici un autre exemple où r est supérieur à r, + r,. Pour la forme du second degré x,dx,dæ, + x,dx,dx,, x, et x, sont de rang un, tandis que le couple (x,, x.) est de rang quatre. On reviendra en détail sur ce sujet pour une forme de Pfaff (Chap. IV).

APPLICATION. — Une différentielle totale symbolique du second degré est toujours de classe paire, puisque le rang de cette forme est toujours

un nombre. pair (n° 82). Il s'ensuit que le rang d’une fonction f relativement à Q’ est zéro ou deux; en reprenant une suite de raisonnements

tout à fait analogues à ceux du n° 12, il serait facile d’en déduire

directement que cette forme Q' peut être ramenée à une forme canonique dyidz + ... + dypd2p

si elle est de classe 2p. Nous laisserons au lecteur le soin de développer

lui-même la démonstration, sans supposer connue la réduction d’une » PP

forme de Pfaff. On peut prendre pour y, une fonction quelconque de

rang deux (voir n° 142).

89. Formes du second degré à quatre variables. -- Soit Q une forme du second degré à quatre variables

(Gi) Ù o= Ÿ Axdridær, CC A1, 2,5,4; LR

1%: #. 4 d s EL EST sé

si cette forme est une différentielle totale symbolique, élle est de’ À classe 2 ou 4, et peut êtré ramenée à une des formes canoniques dydys dyidy: + dysdys, ÿis Ys, Ya, ya étant des fonctions distinctes des variables x,, &,, &3; &,. Si Q n’est pas une différentielle totale symbolique, elle est de classe 3 ou 4 ; si elle est de classe 3, elle peut être ramenée à la forme canonique y;dy,dy; (n° 84), les trois fonctions y;, y: y3 étant distinctes. Considérons enfin le cas général où @ est de classe 4, sans être une différentielle totale symbolique, | | La forme dérivée

dA DAS. | , CORRE D) dAndæider = | SM tar )desdesdr, | [9A3 A1 > A + (Et + Re + ) dre, 2A,: DA 9 dÀ,, À :

He ( MEURT <a) dx,dx,dz,;

\ Las dL1 dL2

n'est pas identiquement nulle, et l’én a observé qu’elle était de troisième classe. On peut la ramener (n° 84) à la forme canonique Q— dy;dy;dy;, en prenant pour y,, y, y, trois intégrales distinctes convenablement choisies de l'équation linédire aux dérivées

päftiellés A ; A dAse nr op À DEN

53) o'df=—(# . ANR (55) lf (FE "à d Lo Se T3 } DL:

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On peut même ramener Q' à cette forme canonique d’une infinité de façons en remplaçant y,, y,, y, par trois fonctions Y;(y,, y,, y3) (= 1, 2, 3), dont le jacobien DELLE Va) est égal à l'unité.

È D(y1, ya y3) D'après sa signification, l'équation (53) est un covariant de la