CHAPITRE IT. —— FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

forme a, relativement à tout changemeñt de variables, puisque toute intégrale de cette-équation annule identiquement le produit symbolique a'df, qui est un covariant de à. Le SUR d'équations différéntielles

2Aÿ3 | Ag | DAus Au , JA | DAus DC; DT T3 dX1 DL3 TL; ERA ds — dx; ; | PAu 4 DA à 2e | Du , An 4 Au dLe TC, dTL3 C1 dL2

associé à l'équation aux dérivées ee (53), est aussi un système covariant de la forme 0.

Les intégrales de l'équation (53) sont de rang 2 ou 4 relativement à la forme o.

Il suffit évidemment dé prouver qué l'intégrale y, par exemple est de rang 2 ou 4. Or, puisque l’on a &'—= dy,dy,dy,, on en conclut que la forme 9 peut s’écrire |

A = ysdy,dy, + v’, w étant une forme de Pfaff à quatre vaïiables y,, y, Yss Ya S1 l’on fait maintenant y, — G; w’ devient une différentielle totale symbolique à trois variables et du second degré ; elle est donc de classe deux, à moins d’être idéntiquerent nulle, ce qui ne peut arriver que si © est divisible par dy. j |

Réciproquement, soit f(x,, L,, L3, &,) une fonction de rang deux relativement à la forme 0. Cette forme peut s’écrire à = wdf ÉATR w étant üne formé dé Pfaff, ri utie forme du second degré qui ne contient pas la différentielle df, et qui est de séconde classe quand

on regarde f comme une constante. On peut donc, en choisissant

deux autres fonctions /,, f,, distinctes de f, mettre encore @ sous

la forme

o = b,df + dfidfs, on en tire © — du,df, et par suite f est üne intégralé de l’équation (53) a'df = o. | IL existe donc pour une forme générale du second degré à quatre variables une infinité de fonctions de rang deux, qui sont des

fonctions arbitraires de trois fonctions indépendantes. Ce sont des fonctions distinquées relativement à cette forme. Nous avons vu

. qu'il n'existait pas de fonctions de cette espèce pour une différen-

tielle totale symbolique du second ordre de classe 4 à 4 variables.

Si la forme Q admet un facteur intégrant sans être une différentielle totale symbolique, on peut l'écrire Q — 7,9, la forme Q étant une différentielle totale symbolique de classe quatre. La variable ÿ est nécessairement de rang deux relativement à cette forme A, qui peut alors s’écrire dyidys + dysdy,, d’après la remarque qui termine le

paragraphe précédent. La forme Q peut donc être ramenée à une forme

canonique

Q= yi(dyidys + dysdys), et l'équation (53) denent 7 dy

Si Q n’admet pas de facteur intégrant, il n’existe pas de forme canonique. Nous venons de voir que Q peut être ramenée à la forme.

Q = yidysdys + Q (),

Q) étant une différentielle totale symbolique qui contient nécessairement une variable y,. distincte des variables 71,y2, ys. Cette forme Q()

peut être de classe 2 ou 4. Si elle est de classe deux, on peut écrire Q sous la forme

Q — yidyedys + dyidf,

f étant une fonction arbitraire de 1, ya, Yss Ya. Si Q( est de classe quatre, elle renferme les quatre variables Yrs Y2 Y35 Ya Et On ie la mettre sous la forme

at — nd +00, 0° étant une autre différentielle totale symbolique de classe deux. Si J ne renfermait pas y,, la forme y,dyodys X dyidf serait une forme de

classe trois, que l’on pourrait écrire par un changement effectué sur

ces variables seulement, s;dz2d27: et l’on serait ramené au cas précé-

dent. Si fcontient la variable y;, on peut poser f — y et Q pe la forme

O = yidyrdys + dysdy, + dfidfs

fi et fa étant deux fonctions arbitraires. Il est évident a priori qu'on

ne peut trouver pour Q de forme réduite où figurent moins de deux

fonctions arbitraires, puisque cette forme contient sixæ coefficients A;x,

et un changement de variables n’introduit que quatre fonctions arbitraires,