CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

REMARQUE. — L'intégrale Q! est un invariant intégral absolu

pour le système d'équations différentielles (54), et l'intégrale fs un

invariant intégral relatif pour le même système (Voir chapitre V).

L’équation symbolique Q = o admet toujours une infinité d’intégrales à deux dimensions dépendant d’une fonction arbitraire de deux variables. Si l’on considère, pour fixer les idées, æ1 et x: comme deux variables indépendantes, la multiplicité M: définie par les deux équations L3 = f(L1 Le), Ly = p(X1, 2) est une intégrale de l’équation A — 0, pourvu que les fonctions f eto vérifient une seule relation

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que l’on obtient en remplaçant æ3, æ4, das, dx, par f, v, df, do respectivement dans la forme Q. L’une des fonctions f, peut être choisie

arbitrairement, et la seconde est déterminée ensuite par une équation

äux dérivées partielles du premier ordre. On a déjà remarqué (nos 27

. et 30) que les équations de ces multiplicités peuvent être écrites expli-

citement, après l'intégration d’une équation de Pfaff, lorsque la forme Q est le produit symbolique de deux formes linéaires, ou lorsqu'elle admet un multiplicateur (1).

(*) Certains problèmes de géométrie conduisent à des équations symboliques de la forme (51). En voici un exemple, qui se rattache à un problème étudié par M. Axel Egnell (Comptes rendus, t. 171, p. 1119).

Considérons la congruence de droites définie par les équations

RME 2 où æ, y,£, a, b sont des fonctions de deux paramètres arbitraires u et v. Pour que la surface S lieu du point (æ, y, £) soit la surface moyenne de cette

congruence, il faut et il suffit que les fonctions æ, y, £, a, b vérifient l’équa-

tion symbolique dady — dbdx + dz(bda — adb) = o.

| La surface S étant donnée, on peut poser D = Lis Y = 3, ds — SPP cu pda a = Lys 0 = Li et cette équation devient Là does rirdr des Fe (1 — pis) dædæ, + (pt, — 1)dæ,dæ, — p;tsdætdty; = 0 ;

il serait facile d’en déduire les résultats de M. Axel Egnell. La forme Q admet un facteur intégrant si la surface S est un plan et dans

ce cas seulement.