CHAPITRE IV: “= APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

c'est donc la somme de tous les produits m à m dés produits symboliques dA,dx,, dA,dæx,, ..:,dA,dx,. La dérivée d’ordre pair 2m estégale au produit de w par w@2—1) | (2h) — o(ow")"

La dérivée d’un 6rdre quelconque p est donc une forme de degré DA | |

Supposons qu'avec un nouveau système de variables (y,,..:; y) la forme w se change en uñe forme x linéaire paï rapport aux différentielles dy;. On a déjà démontré (n° 26) que, par ce change: ment de variables, la forme dérivée w’ se change en w’. Le produit symbolique w" — ww’ se transforme donc en le produit symbolique wo = w/, La même propriété s'étend à toutes les formes déri= vées de w; qui se déduisent de w et de w’ par des multiplications symboliques. Si un changement de variables transforme la forme linéaire w en une nouvelle forme linéaire 5, la même t'ansformation change Fa dérivée w(?) en la dérivée w(?). 2

Soit w — w + w, la somme de deux formés linéaires. On a évidemment = w', + w',, et une dérivée d'ordre impair 6(?"—1) est égale à la puissance rnième symbolique ({) de w’ divisée par m /

: I w(27n—1) Le A) (w’, — @'2 ÿ .

Comine 4’, et w’, soht des formes d'ordre pair, 6n à aussi m

oO) — ER (orne o (w',)7—1w"s

5 MM—I | 06492. $ , Li re CE CEE CD ne ce que l’on peut éncore écriré {:) wÉh=4) — 0-0 w,02-1) + a Cpgo 22 to, E4—1),

Cyy étant un coefficient différent de zéro; et la somme des deux nombres positifs p et q étant égale à m: Où remarquera qu'il ne figure dans l'expession de w®m—® que les dérivées d'ordre impair de w, et de w..

(:) Il ne faüt pas confondre les deux expressious (}" et wl»); dont la pre-

imière désigne la puissance rnième sÿmboliqüe de &; qui est nullé;, tandis que la seconde représente la mième forme dérivée de %:

FA 2° Sa ARC PONS Sr AE 2 EE PACE EN BITES es PNR AR

À mn Lu FM Cesar 4 F

Êt 6 ESS X + US « LA , ..

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On a de même.

(2) om) — oPm-1) X w — Lu, m4) + 0 2m—1)

À se D» ue (@p— Du] [o, + 0) — 0,07) + 0,27) + 6,2) 0, + w,27—1,

+ > Cpgo2P)o,029—1) FE » Cpgoa2P—1w,09) ; (p+q = m); chacun des produits partiels contient une forme dérivée d'ordre pair et une forme dérivée d'ordre impair. On remarquera que, dans les deux cas, toutes les dérivées d'ordre impair de w, et de w, ÿ figurent. |

REMARQUE. — Si, dans une forme linéaire w, on supprimele terme en dx, et qu’on regarde x, comme une constante dans les coeffi-

cients de dx,, ..…, dx,, on obtient une forme linéaire w, àn— 1

variables. Quand on fait de même dx, — o dans la pième forme dérivéé w(?), on obtient une forme de degré p + 1 qui est précisément la pième forme dérivée de w,, où x, est considéré comme un paramètre. Il est évident en effet qu’on aboutit au même résultat en faisant dx, — o au début des calculs qui conduisent de w et de w’ à w(?), ou en effectuant ces calculs sans faire cette hypothèse, et remplaçant ensuite dx, par zéro dans le résultat obtenu. Or supposer dx, — o dans w et w', cela revient à remplacer w par w, et la forme dérivée «' par w’,. Il est d'ailleurs évident que si la forme w{?) est nulle, 1 en est de même de w,(?),

41. N ouvelle done de la classe d'une forme de Pfaff. — Toutes les formes dérivées successives d’une forme w de . classe c sont elles-mêmes de classe c au plus, car si w ne renferme que c variables x,, x,,..,æ. et les différentielles dx,, dx, ...,dæe, il est de même de toutes ses formes dérivées. La dérivée w(c), étant de degré c + 1, sera donc nulle; la cième forme dérivée w() d'une forme w de classe c est nulle. I en est évidemment de même des formes dérivées suivantes. | | Nr

Réciproquement, si la cième forme dérivée de w est nulle, la forme vw est au plus de classe c (1).

() La démonstration serait très facile en s'appuyant sur les propriétés des

formes de Pfaff établies au chapitre I, maïs la démonstration du texte est indépendante de cette théorie,