CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

D'une façon plus précise, nous allons démontrer que les c — 1 premières formes dérivées w!, w!, ,..,w(C-1) d'une forme « de classe c ne sont pas nulles. |

Il en résulte que, pour avoir la classe d’une forme linéaire w, il suffira de former la suite des dérivées successives de w ; si la première forme dérivée qui est nulle est w(*), la classe de w est m.

La proposition est évidente pour une forme de classe un. Elleest aussi très facile à établir pour une forme de classe deux. Si w est une forme de classe deux, on peut l'écrire, par un choix convenable des variables, w — y,dy, ; on a alors

= dydys, = 0.0 = dysdy, X Jidys = 0, TE = (HAS 0; OV — ww — 0.

Pour établir que le théorème est général, il suffira donc de montrer que, s’il est vrai pour les formes de classe inférieure à c, il est encore vrai pour les formes de classe c. |

Soit w une forme de classe c. Nous pouvons supposer qu’elle ne contient que c variables et leurs différentielles

(1 Ps Ajdæ, + A,dx> + .. + Adze

AAC LS Me étant des fonctions des c variables Hs LP de celles-là seulement. La forme w, obtenue en faisant dx, — 0 dans w, Ne | w, = A,dx, + ... + Acdxe,

est au plus de classe c — 1, quand on regarde dans les coefficients x, comme une constante, car cette forme ne renferme plus que les c— 1 variables æ&,, &,, ...,%c. Elle ne peut être de classe inférieure à c— 2. Supposons en effet qu’elle soit de classe c — 3 par exemple. On pourrait alors choisir un nouveau système de variables y», ..., ye 2, fonctions de x,, æ;, ..., æe, telles que l’on ait

| FAR dye—e pr W, —= B; (dy, da) + Late + Bec (dyo-a— dr), B,, B;, ..., Bee étant aussi des fonctions de æ,, y, ..., Ye, et l'on aurait

w — B,dx, + B,dy: + ,.. + Bc-odyc 2.

Cette forme w ne peut être de classe c. En effet, si B, ne dépend

que de æ,, ys, ..., ÿe—a, w ne renferme que ces € — 2 variables et leurs différentielles. Si B, est indépendant de æ,, y», .. «» Jce—2, On peut poser B, = yc-1, Ye 1 étant une nouvelle variable, etw ne renferme encore que € — 1 variables.

La forme w, est donc de classe c — 2 ou de classe c— 1, quand on regarde æ, comme une constante dans les coefficients A»,..., As. On peut toujours choisir la variable æ, de J'açon que la classe de w, Sol © — 2. Supposons en effet que la classe de w,, où l’on donne à æ, une valeur constante, soit c — 1. La forme dérivée w(c—2) ne peut alors être nulle, car il en serait de même de la forme obtenue en faisant dx, — o dans w(c-2 : or, d’après la remarque qui termine le paragraphe précédent, cette nouvelle forme est identique à la forme dérivée w,(6—%), prise en regardant x, comme un paramètre dans les coefficients de en . Cette forme ne peut donc être nulle dans l’hypothèse où l’on se Hs

La forme w(c-2?) est donc une forme de degré c—1ràc RD

dont tous les coefficients ne sont pas nuls, et l'équation

w'eYdf = 0 admet c — 1 intégrales distinctes. Supposons que l’on prenne un nouveau système de variables y,, y3, . ,.; Ye, de façon que y; soit l’une de ces intégrales. La forme w se transforme en une nouvelle forme

CR B idyi + B:dy, + CE . Bcdyc, et l’on a la relation | œe—?)diy, 10: | =. Il s'ensuit que la forme à laquelle se réduit wt—% quand on y fait dy, = 0 est nulle, c'est-à-dire que La (e — 2)ième forme dérivée de

TD — B:dy; + ,., + Bedye

où l’on regarde 7, comme constant, est nulle. Cette forme 5,, ne pouvant être que de classe c -- 1 ou c — 2, quand on fait cette convention, est donc de classe c — 2, et nous retombons sur la première hypothèse ({).

()} On peut remarquer que le raisonnement prouve directement qu ‘une

fonction f ne peut être d’un rang supérieur à deux relativement à une forme de Pfaff, et qu’il existe effectivement des fonctions de rang deux (GF, n° 11).

«ic

Rs

TR Ne MR Ed cie TEE RASE È 2 CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 159

On peut donc toujours supposer que l’on a choisi la variable æ, de telle façon que la forme w, ;

y — A dx, EE à Acdæ,

où l'on fait æ, — C, est de classe c — 2. On peut alors prendre un nouveau système de variables y,, .., ye—1, fonctions dex,, &,,..., &e de façon que l’on ait

B2, .…, Be 1 étant des fonctions de æ&,, y2, .…, yc 1, et l’on a aussi & — B,dx: + B,dy + ser A + Bc 1dyc4.

Le coefficient B, est forcément indépendant DE Dino. Ut sans quoi «, ne pourrait être de classe c. On peut donc prendre ce coefficient pour une nouvelle variable xe, et, en revenant aux pre-. mières notations, on voit que toute forme “ de classe c peut, en choisissant convenablement les variables, être mise sous la forme

wo —= xd, + Œ4s

w,ne renfermant ni Le, nt dre, nt de, et cette forme étant de classe ce — 2 quand on y regarde x; comme une constante

Il est facile d’en déduire que les formes dérivées wle—1), w(0—?), ne sont pas nulles. Démontrons-le par exemple pour la première. Puisque », est de classe c — 2 quand on y regarde x, comme un paramètre, on a |

64 (° 4) "6, &4(—?) = da, w(0—$3) Op re 9,42,

Q, étant une forme différente de zéro,où dx, ne figure pas: D’après les formules qui donnent les formes dérivées d’une somme, on a

w(C—1) — CR ea —+- C,tcdriwite—?) —- C,dxdx,w,(c—3),

C,, Ge étant des coefficients numériques dont le second C, n’est pas nul ; il reste donc

œ(c—1) — C,dx.dxiQ., et cette forme ne peut être nulle. puisque 0, ne renferme ni dx,, ni dxe. On verrait de la même façon que dans la forme «(—-9(q>>1),

tous les termes qui renferment dx ne peuvent être nuls. Le théo-

rème énoncé est donc établi (1).