CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

tes par lesquelles on remplace f, ...,f, dans B,,1,...,B,. Il faut évidemment pour cela que ces coefficients B,,,, ..., nuls, et la forme 5% se réduit à ses p premiers termes

a — Bdf; + .. + B,df,.

Les p coefficients B,, :.., B, doivent former avec fi, ..., f, un système de 2p fonctions distinctes ; sans quoi la forme % serait de

B,, soient

classe inférieure à 2p. En prenant pour variables ces 2p fonctions, la forme « est donc ramenée à une forme canonique

o — Zidy: + ... — £, dy

Connaissant un groupe conjugué de p fonctions, on voit que cette réduction exige seulement un changement de variables tel que les p fonctions fi, fr, ..., f, du groupe soient précisément p des nouvelles variables, les autres pouvant être prises d’une façon arbitraire. On peut aussi obtenir les coefficients B; par un calcul d'identification avant tout changement de variables.

Considérons maintenant une forme » de classe 2p + 1, et soit (fis fes +.., Jp) UD groupe conjugué de p fonctions pour cette forme. Le même changement de variables que dans le premier cas conduit à une nouvelle forme & dans laquelle l’ensemble des termes qui suivent les p premiers

Body ps re + B,dy,

représente une forme de classe un, c’est-à-dire une TAsaRene

totale dU, quand on regarde fi, ..., f, comme des constantes dans

B,,1, ..., B,. On peut donc écrire

ras ; OU VAS oU BoHdyp+s + ... + TR ARE RE AVE re of Wa

et par suite

DCR …. + CGdf, + dU.

Les 2p + 1 fonctions fi, .…, f,; C1, .…, G,, U doivent encore être

distinctes et, en les prenant pour nouvelles variables, » est ramené

à une forme canonique a) — dy; +." + sdy, + CAPE

On voit que cette réduction crise, outre le changement de variables, une quadrature.