CHAPITRE IV, —— APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

cette forme w, étant de classe e — 4, l'équation (17) admet ec — 5 intégrales distinctes, qui s’obtiendraient par l'intégration d'un système complet, dont on connaît déjà deux intégrales f,, /,. En continuant de la sorte, on en déduit la méthode générale suivante pour obtenir un groupe de q fonctions conjuguées relatif à une

forme « de classe c (7 Sa

On cherche une intégrale f\ de l'équation symbolique wte-2df = 6, puis une intégrale f,, distincte de f,, de l'équation

otc—#df,df = 0, pus une intégrale f,, distincte de f, et. f,, de l'équation

ae-0dfdfdf = 0, el ainsi de suile, .. enfin une intégrale fy, indépendante de Ji fe 11 faedidé l'équation ote-20df,.... dfg1df =.

Cette RS exige les opérations € — 1,C—3,.:,C— 29 #& Ii En particulier, si c = 2p, la recherche d un groupe de p fonctions conjuguées exige les opérations 2p — 1, 2p —3, ...,3, 1. Si C—2p + 1, cette recherche exige les opérations 2p, 2p —2, 4,2. Les intêgrations à effectuer pour ramener » à une forme canonique sont donc les mêmes que celles qu’exige la méthode du n° 12, qui ne diffère pas essentiellement de celle-ci. Mais la nouvelle méthode offre cet avantage, de n'exiger un changement de variables que

lorsqu'on a achevé de déterminer la moitié des fonctions qui doi-

vent figurer dans la forme réduite, tandis que le procédé du n° 12 suppose un changement de variables après chaque intégration (1),

Remarque. — Lorsque w est de classe impaire 2p + 1, après avoir déterminé les p fonctions fi, f2, . .., f, d’un groupe conjugué, on peut, avant tout changement de variables, déterminer une intégrale Jp

. AU nr de de fs f2s +. ., fm de l'équation symbolique

odfi “te dfndf = 0.

(‘) Pour une forme de classe paire, la méthode de réduction de Frobenius ne diffère que par la forme de celle qui vient d’être exposée. Pour une forme w de classe impaire, Frobenius commence par déterminer une fonction f telle w — df soit de classe paire.

La forme donnée w peut alors s’exprimer au moyen des différentielles dfi, .…, dfp, dfn+1 seulement, dont on peut, comme tout à l'heure, calculer es coefficients B; par. identification :

DE Bid fi +... + Bpd fp y Bp+14dfp+41..

De plus Bp+1d/fp-+1 doit être de classe un, quand on y regarde f;,, ..…., fp comme des constantes, ce qui exige que B+1ne dépende que de

as Pas + > fp+14. I suffit alors de prendre pour variable / Bp+1 dfp+1,

à la place de Jp+1 pour obtenir une forme canonique.

ExEeMPLE, — Soit

on a w'—= — rdrde, — xidrsde, + drdee, QU = (w) = — zdadrsdr;dr,; — tsdxdrsdx, dre, @V — 0 ; | |

d'autre part, on s'assure aisément que w/”” — »"/" n’est pas nul. La

forme « est donc de cinquième classe. On voit immédiatement, sans

qu’il soit nécessaire de développer, que f = x, est une intégrale de : a"df — 0 : |

on peut donc prendre f; = x. On reconnaît de même que f — T3 est une intégrale de l'équation symbolique

w'dfdf = — wdrdx,drs +- FRE LR TR = 0:

Il en résulte que si l’on remplace x3 et x, par des constantes dans w, on obtient une différentielle totale. On peut écrire en effet.

où = Cr, + d(cits — L3D5T4) + LyT,dDL3,

et w est mis sous forme canonique.

45. Détermination d’un groupe tete. Deuxième méthode. — Nous démontrerons d’abord les deux lemmes suivants :

Lemme 1. — Soit « une forme de classe c. Si l'on a ay, — 0, | w, étant une autre forme linéaire, la classe c est un nombre impair, et w, est identique à w à un facteur près.