CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

Lemme IT. — Si l’on a

œlC—?) — o(C—3)e,,

Là

la classe c est un nombre pair et w, est identique à w. Il suffit évidemment de démontrer ces lemmes pour une forme canonique. Soit.

; une forme de classe c — 2m;ona

w(C—3) — a2n—3) — re — Sdy,dx, .… dy, dt chaque produit partiel se déduisant de dy,dæ: . .. dy,,dæ,, en sup-: primant un groupe de deux facteurs dyidæi (n° 42. p. 164). Pour qu'un produit symbolique

À TR tree De ER EUR cure + SBidy;)

soit nul, 1l faut que tous les coefficients ay et Bi soient nuls, car le terme a.dx,dy,dx, ... dy,dx, par exemple ne se réduit avec aucun autre. |

Prenons en second lieu une forme de classe impaire 22 + 1

Re CC RE) nd hs" QE PSP ERP OR ls

4 o = ds + yidas + sie + y, dE; À wlC—3) — (22) AA Ca A (A) j aps m—1)!

= (Sdy,de,.… du di (de Hyde +).

On a déjà la relation o(—3)» —o; si l’on a aussi 003), — 0, w, étant une autre forme linéaire, le produit symbolique

m(c—3(&, — Kw)

dla hé en dé nid

sn Er AN mg

sera nul, quelque soit le facteur K. Choisissons ce facteur de façon

à À LE ‘

que w1 —' Kw ne renferme pas dz, © — Kw = Zadx; + ZB;dy:i ; on aura

(Edy,dæx, se AY ONE) (dz + Ey:dxi) (Éxidai xp XB;dyi) == 0:

He à nie ce. rage Là

En considérant tous les termes qui contiennent ds, on voit,

comme tout à l’heure, que tous les coefficients a; et P; doivent être nuls, et w, est identique à Ko. | | |

Le second lemme se démontre de là même façon. Pour une forme « de classe paire

& —= yÿid% + ... +- y ds ona | fe — Sa Le dy dt )o, of = Edyidas … dy, de

m(C—2) — ute—8)c.

Si l'on a d'autre part (0-2 = (Su, w étantune forme linéaire, on en conclut que le produit w(c-3) (w — w1) est nul, ce qui exige, on vient de lé voir, que &, =.

Pour üne forme de classe impaire

w = d£ + yidxi + ... + y,dx,, = = (Sdyd … dy, dt, 1) (48 + yiddi +. + y,de,). On ne peut avoir | | Li | ae?) = l8o, ‘car le premier membre ne contient pas d£, tandis que le second membre renferme dés termes en d£, à moins que w, ne soit nul. Cela étant, soient une forme linéaire dé classe c et (f,3 .., fa) un groupe conjugué de q fonctions (a « =) L’'équation symbolique | | | (18) | 244 f.df, ... dfjdf = 0

est équivalente au système

(19) of = 0, «.. tes) df,df = GO; hier #3) d ff = 0.

Il est évident en effet que toute fonction f qui annule le produit symbolique (18) annule aussi tous les produits symboliques (19) (no 44). Pour démontrer la réciproque, comme la propriété est indépendante du choix des variables au moyen desquelles on a exprimé w, Nous supposerons qu'on à exprimé wau moyen de c variables éanoniques { fi, fs, «4.1 y et f sont alors des fonctions

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