CHAPITRE IV. -—— APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
des mêmes variables. La relation (18) exprimé que f est dé rang deux par rapport à la forme # déduite de w'au moyen des g rélations | |
fa = es fa = 4q
établies entre les variables canoniques. Cette forme & est de classe € — 2q par hypothèse, et par suite Les fonctions de rang deux par rapport à sont déterminées par un système coinplet qui admet c— 27 — 1 intégrales distinctes, en plus. des intégrales évidentes f,, f, ..., fa. L'équation (18) conduit donc pour déterminer f à un système complet ? qui admet c — g — 1 intégrales distinctes. Comme la fonction f dépend de c variables, tout système de g + 1 équations linéaires et homogènes par rapport aux déri vées de f est équivalent au système £, pourvu que ces équations admettent toutes les intégrales de X et soient linéairement distinctes. Or les q + 1 équations du système (19) sont linéaires par rapport aux dérivées de j, car (6-7 et &(c—3)4f; sont des formes dé degré c — 1, et ces équations admettent toutes les intégrales du système 2, Il suffit donc de montrer que ces q + 1 équations (19) sont linéairement distinctes pour prouver que le systéme à > est identique au système (19). À
Si les q dernières équations (19) n'étaient pas linéairement distinctes, on aurait une relation de la forme |
w(e—3) { US AR RES CL kydfa} df= 0,
OUR ur L. À; sont des fonctions des variables indépendantes, non toutes nulles, qui devrait être vérifiée quelle que soit la fonction f. Il ne peut en être ainsi que si le produit |
; 6-3 Ldf, + 2: + ydfy) = 0:
Ceci exige que Ldf, + ... + Xdf4 soit identiquement nul, ou
-bien que A df, + … +44df, soit identique à « à un facteur près, la
classe € étant un nombre impair. La première hypothèse est à rejeter puisque tous les coefficients À; ne sont pas nuls, et que les fonctions f,, fa, .…., fa Sont indépendantes. La seconde hypothèse est aussi à rejeter: car la classé de w sérait au plus égal à 2q, et comme c est impair, on aurait € ZT 2ÿ, cé qui ést absurde,
S1 la première des équations (19) était une combinaison linéaire des autres, on aurait de même une identité de la forme
e(C—2) — (5) (Aud/f: +... + \dfy).
Il faudrait que Mdfi + ... + \gdfg Fût ete à w, et l'on aurait c — 2q. L’équation SASbara ee (18) n’a alors aucun sens.
De la proposition précédente on déduit une nouvelle méthode pour déterminer un groupe de g fonctions conjuguées.
| Soit fi une intégrale de l'équation wt—2df — 0, on cherchera
une intégrale f:, distincte de f,, du système aC-Ddf—=0, we-Hdfdf = 0, puis une intégrale fs, indépendante de f\ et fa, du système __et-%df—=0, m8) df,df —=0, CSA APE 0,
et ue une intégrale fa, A or SEA. …., fq -1 du sys-
tème af = 0, sV4faf= 0, Re se-D4fydf = o.
Il résulte en effet de la oo précédente, que les AE successifs Qs Jah (fa fs) HU es faq) de 2, 9 | fonctions sont des groupes conjugués. |
Il est clair que le nombre des iritégrations à effectuer est le même dans les deux méthodes, puisque nous n'avons fait que remplacer un système complet par un système complet équivalent. Mais la nouvelle méthode est beaucoup plus simple pour la formation des systèmes complets successifs dont on a à rechercher une
intégrale particulière, car chacun d’eux contient toutes les équa-
tions du on précédent ; de plus dans chacune de ces équations, il ne figure qu’une des intégrales déjà obtenues. Supposons en particulier que la classe de » soit égale au nombre n des variables
indépendantes qui figurent dans cette forme. Chacun des produits symboliques
o-Ddf, wn-Hdfdf, …
est de degré n et par suite contient un seul terme en dx,dx, … dx,
En égalant à zéro un quelconque de ces produits, on obtiendra done
Ni
Per
