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CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 177 une seule équation linéaire en 7 ie 2. Chacun dé systèmes TL Ln

. complets successifs se déduira donc du précédent en lui adjoignant

une seule équation formée au moyen de la dernière intégrale obtenue.

Dans le cas général où le nombre n des variables est supérieur à la classe c de w, la première équation w°-2)df fournit un système complet de z — c + 1 équations. Pour avoir chacun des systèmes complets successifs, on adjoindra au précédent une équation nouvelle distincte des précédentes, que l’on déduira de la dernière intégrale obtenue, en égalant à zéro le coefficient de l’un des monomes dans «(°—3)df;df, f; étant la dernière intégrale calculée,

Dans le cas où le nombre des variables est pair 2r et égal à la classe, la méthode précédente pour déterminer un groupe conjugué de r fonctions est due à Clebsch, qui n’a jamais étendu complètement sa méthode aux autres cas. |

ExEMPLE. — Considérons la forme de Pfaff (Forsyth) © = LodXi + Lada + LidLs + Lsd2s + dde + aides ; les formes dérivées Maries impair ont les expressions suivantes co = es + dxsdRLa «a dx,dæts + dasdxs + dxsdxs + dxidxe, of!!! — RC w'P — — dr\dx,dx,dx, +.dx,dx,dx,dx,; + dxidx,dx;dæ, + dr,dxsdx;des + dr,drydæsdes + dæidxsdedæ, + dx;dx,;dx;dx,; + dx,dæx;dxçdæi + dxdr;dxsdrs,

a sl 0

D'ailleurs w//! — w/"/« renferme évidemment un terme en

dædr,dæsdx,dxs

qui ne se réduit avec aucun autre ; la forme «w est donc de cinquième classe. Pour ramener w à une forme canonique, il faut d’abord déterminer une intégrale de l’équation

of = es | Re rte =) CAR ER ARS Er + dxdxdasdrsdx, + dr dede) a es he + L ne 4 (drdasdr,dr;de, é AT a + dæidx:dx:dx;dæts;) = 0, G. Leçons. 42

équivalente au système complet

d à | CT AE BE + PE + æ 0 af La + 2 — 0.

dT 2 dT 4 dT 6

Soit fi = Z3 — XL une intégrale de ce système. Nous avons ensuite à chercher une intégrale du système complet obtenu en ajoutant aux deux équations précédentes l'équation symbolique w"d (ts —2:)df = 0. On trouve facilement, en faisant le caleul, qu'ilsuffit d’adjoindre au système précédent l'équation ie — 0. La fonction fo = 3 — æesi une intégrale du nouveau système. |

En posant æ3 — di = Y3, Lys — Di — Vs la forme w peut s’écrire

w = dede + (da + ysldea + aida + didys + adE4 + y5dX, + Leds d- xdys + ide

et on vérifie immédiatement que si l'on y remplace y3 et y; par des constantes, on a une différentielle totale

taire + ysla + its + LiTe + Ys La)

On a donc, en regardant y, et y; comme des variables,

Lo = d{tito + Dos + Tia + Mid + YsT4) | Eu (rt — modys + (te — La)dys et enfin, en remplaçant y: et y, par leurs expressions, ù = d(trts + aid + Lans) + (Xe — La)d (ts — Ti) + (te — Ls)d(Ls — La).

A6. Forme canonique d’une équation de Pfaff. OH.

déjà démontré (n° 45) que l'on peut trouver explicitement les intégrales d’une équation de Pfaff » — 0 de classe y — 2m — 1,silon a ramené la forme w à ne contenir que m différentielles, de telle

sorte que l'équation w = 0 s’écrive # (20) | wo —= Bidfi . ds + B,,df,, = 0,

fasfer ce. fn étant m fonctions distinctes. Nous dirons alors que l'équation w = 0 de classe 2m — r est mise sous forme canonique.

La forme « elle-même peut être de classe 2m ou de classe 27 —1 (n° 43). Si « est de classe paire om, les 2m fonctions f,, fo, ..., fn B;, .…, B, doivent être distinctes, sans quoi « serait de classe

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