CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

inférieure à 2m. L'expression (20) est donc aussi une forme canonique pour w, et il revient au même de mettre la forme » ou l’équation w — o sous forme canonique. Le problème revient à la recherche d’un groupe conjugué de m fonctions (f,, fs, .…, f,).

Il n’en est plus de même si est de classe impaire 2m— 1 ; B,df, + ... + B,,df,, n’est une forme canonique pour » que si l’un des coefficients B; est égal à l’unité. Les m2 fonctions (f,,f», .…, f,.) forment alors un groupe de rang 2m —1 pour la forme », et la réduction de l'équation w — 0 à une forme canonique est équivalente au problème suivant :

Déterminer un groupe de m fonctions distinctes (f,,..….,f,,) qui soit de rang 2m — 1 par rapport à la forme ».

Il est clair en effet qu'ayant obtenu un groupe de cette espèce, si l’on prend un nouveau système de variables de telle façon que les m fonctions /; de ce groupe fassent partie des nouvelles variables, w ne doit contenir que les différentielles df,, .…, df,,, puisque w

doit être de classe nulle, quand on y remplace ces différentielles

par zéro.

D'une façon générale, nous dirons qu'un groupe de g fonctions distinctes (fi. f2; ..., fa) est semi-conjuqué par rapport à une forme », lorsque les relations

(21) | a ces Ja Ag

df, — O, .…… dfg = 0 abaissent la classe de de 27 — 1 unités. Les g fonctions fais fs +. fa vérifient l'équation symbolique

(22) e\C— 27+)df, que dfa —= 0 ,;

inversement, si g fonctions distinctes f,, ..., f{ satisfont à cette relation, les équations (21) abaissent la classe de » de 2q — 1 unités au moins: les fonctions f,, …, f, forment donc un groupe conjugué ou semi-Con jugué. En reprenant les raisonnements du n° 48, on voit

facilement que, si q fonctions f,, .…., f{ forment un groupe conju-

gué ou semi-conjugué, 7 quelconques de ces fonctions sh Je.

vérifient la relation

(23) | o—2r#Hdf, ... df,. = 0;

c'est-à-dire forment aussi un groupe conjugué ou semi-conjugué.

En particulier, chacune des fonctions du groupe est au moins de

rang un,et l’on a

Cf = 0, a 0:

Pour déterminer un groupe semi-conjugué de qg fonctions, on

peut suivre deux méthodes tout à fait analogues aux deux mêthodes exposées plus haut pour les groupes conjugués. PREMIÈRE MÉTHODE. — On cherche d'abord une intégrale f, de l'équation | ie w(c—1)df — oe LEA puis une intégrale f,, distincte de f,, de l'équation ae—dfdf = 0, puis une intégrale f., indépendante de fi, f», de l'équation

54 f df: df = 0,

etenfin une intégrale fa, indépendante de f,, …, fa-4 de l'équation | o(—29+0df, .. die O.

Si la classe c est égale au nombre n des variables indépendantes Li, 2, On peut prendre pour /, une fonction arbitraire de ces variables. | # Q À

En particulier, pour ramener une équation w — 0, où w est de classe 2m— 1, à une forme canonique, on a à chercher successivement une intégrale particulière de chacune des équations

mDdf= 0, wn-Hdfdf — 0, … Odf, di dfe 0; udf, 0, adf 0,

puis à faire un changement de variables, de façon que f,, fa EE Fe

fassent partie des nouvelles variables.

On a ainsi à déterminer une intégrale particulière de plusieurs systèmes complets successifs dont chacun admet toutes les intégrales du précédent. Ces systèmes complets peuvent être remplacés par d’autres systèmes équivalents, plus faciles à former. Il suffit