CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

pour cela de reprendre les raisonnements du n° 44. Soit ( f,, f4, .., fa) :

un groupe conjugué ou semi-conjugué relativement à une forme w

de classe c ; l'équation symbolique

(24) ute-%—1)df, … dfidf = 0

est équivalente au système |

(25). off 0, aC-dfdf—=0, +, wt-3df,;df = 0.

On a déjà observé que toute fonction f qui annule le produit symbolique (24) annule aussi tous les produits (25). Pour démontrer la réciproque, comme la propriété est indépendante du choix des variables au moyen desquelles on a exprimé w, nous suppose- TODS w exprimée au moyen de c variables canoniques ; fi, fa, …, fa et f sont alors des fonctions des mêmes variables. Cela étant, soit = la forme déduite de w au moyen des qg relations RS

fa —@a ; cette forme peut être de classe c — 2g + 1 ou de classe

c— 2q. Sisest de rang c— 2q + 1, la relation (24) exprime que f'est de rang 2 par rapport à w ; c’est donc une intégrale d'un système complet qui admet c — 2q intégrales distinctes, en plus des intégrales évidentes f,, ..…, fa. Si w est de rang c — 2q, l’équation (24) exprime que f est de rang 1 au moins par rapport à w; c’est donc une intégrale d’un système complet qui admet c — 2q intégrales distinctes, non compris les intégrales TENTE fa- Dans les deux cas, nous voyons que l'équation (24) est équivalente à un système complet Ë admettant c — 2g intégrales distinctes. Comme f dépend uniquement des c variables canoniques, tout système de q équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles du premier ordre de f est identique à Ë, pourvu que ces q équations soient -linéairement distinctes et admettent toutes les intégrales de X.

La première des équations (25) exprime que f ne dépend que des variables canoniques ; les g équations suivantes o(c—3)df;df — o forment comme on l’a vu (n° 44) un système de q équations linéai-

rement distinctes admettant toutes les intégrales de l’équation (24).

Elles forment donc un système complètement intégrable équivalent à X.

On déduit de cette proposition une nouvelle méthode pour déter-

miner un groupe semi-conjugué de q fonctions relatif à une.

forme w de classe C (a < fe ; ).

Deuxième MÉraone. — Soit f, une intégrale particulière de l'équation (T1 Id = 05"0on cherchera une intégrale f», distincte de f,, du système

ef =.06; wtc—3df,df = 0, puis une intégrale f;, indépendante de f, et f,, du système we—Ndf—= 0, wt—3df,df = 0, wC—3)df,df = 0, enfin une intégrale fa, indépendante de f,, ..., fa-1, du système edf = 0, ot-idfdf=0, …. ue-Sdfydf = 0.

En particulier, si la classe c est égale au nombre des variables x; qui figurent dans », on peut prendre pour f une fonction arbitraire de ces variables, et supprimer la première équation

wlc—1)df — o dans tous les systèmes suivants.

Si nous rapprochons la première des méthodes précédentes pour déterminer un groupe semi-conjugué de m fonctions relativement à une forme « de classe 2m — 1 de la méthode du n° 48 pour déter-

miner un groupe conjugué de "= fonctions relativement à une

forme « de classe 2m, on en déduit aussitôt la méthode générale

suivante pour ramener l’équation de Pfaff » — o à une forme câno-

nique, qui s'applique quelle que soit la classe de w. Soit m le plus petit nombre entier tel que la forme dérivée 2%) soit nulle. On cherchera une intégrale f, de l'équation

om-?2)df —= 0, puis une intégrale f», distincte de f\, de l'équation ofr-Hdfidf=0, puis une intégrale f;, indépendante de f\ et f,, de l'équation wem—6)df,df.df = 0,

L] LI LL L] LI L [1 L1 LA L1 . L L] L e . « LL LR LA C2 L à

Ru D Le ne ES LararSeapennte pa dar M truc PAS

CHAPITRE IV, > APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 183 enfin üné intégrale fus indépendante de fi; os +. fn de l'équa-

tion wdfdfs: df, \df —=0. | | Ayant obtenu ces m fonctions f,, f,, …, f,, U suffira de faire dans w un changement de variables, tel que f,, …, f,, soient m des nouvelles variables.

La première équation dont on a à chercher une intégrale

o(2n—2)df — 0

admet toujours, comme on l’a déjà observé plusieurs fois, 2m — 1 intégrales distinctes. Elle est donc équivalente à un système com- plet, formé de n — 2m + 1 équations linéairement indépendantes, que l’on appelle le système adjoint à l'équation » = 0.

Pour former les systèmes complets équivalents aux équations wCM—#df.df = 0, w?n—6)df,df,df = 06, on peut d’ailleurs employer l’une ou l’autre des méthodes qui ont été indiquées plus haut, suivant la classe de la forme «. Nous dirons, pour abréger, que m fonctions (fi, ..…, f,), déterminées comme il vient d’être dit,

.forment un groupe conjugué relativement à l'équation w = 0. Il existe évidemment une infinité de groupes conjugués de m fonctions pour une équation de Pfaff de classe 2m— 1. Nous allons montrer que les m fonctions d’un groupe conjugué peuvent être déterminées par des conditions initiales analogues à celles qui déterminent les intégrales principales d’uri système complet dans le domaine d'un point (x,°, æ,°, …, æ,°).

Soit w une forme à n variables, de classe 2m ou 2m —1, dont tous les coefficients sont holomorphes dans le voisinage d’un point : (2,9, &,, .….,æ°), Il en est évidemment de même de tous les coefficients dés formes dérivées successives w', «”', ..., &(2m2) et, gi le point (2,°,æ,°, ..., &,°) n’a pas été choisi d’une façon particulière, {ous les coefficients de w°??) ne sont pas nuls pour cé système de valèurs. Noûs supposerons par exemple qué le coefficiént de dec,ds :.…. Anis n’est pas nul dans cette formé pour les valeurs æ&,°, .…., &,° des variables indépendantes. Commé wl2-—2) —= H07—4),, tons rx termes de «(?—% qui ne renferment que les

différentielles dx,, dx, .…, dx,,, ne peuvent avoir des coefficients nuls pour cé système de valeurs. En choisissant convénable- “%

ment l’ordre des indices, on peut évidemment supposer que

w(@m—4) contient un terme en dx, . cidre, ont le coefficient n’est pas nul pour t, = æ,°, ...,æ, — æ,°. Ilest facile de poursuivre le raisonnement et, en définitive, nous pouvons supposer que pour le système de valeurs æ,°, …., æ,°

le coefficient de dx,dx, ... dx,,, n’est pas al dans {?—2) ;

le coëfficient de dx, ... dx,,, n’est pas nul dans «@2-4) ;

le coefficient de dx,dxr}4 ... dxtom r n'est pas nul dans 02-77) ;

le coefficient de dx,, n’est pas nul dans w.

Pour former le système complet adjoint à l'équation » — 0, il suffit d'annuler dans le pu «Pdf les coefficients des monomes

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