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soit en appliquant la formule générale du changement de variables à l'intégrale 01, et remplaçant en même temps la variation dæœi par
Se D eus + SE dy
En égalant ces deux ADO de ee on a donc
> grue Re 2 big
, c’est-à-dire w! = «1.
La condition w' = o peut aussi s interpréter géométriquement. Prenons d’abord une forme à trois variables que nous écrirons
wo = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, :) ds;
la relation w’ — o peut s’écrire sous forme de déterminant ‘R 3Q 3P oR oQ 2P oy , DZ dE 1 D EN 01
dæ dy d£ dx dy ds
ne D à
Elle exprime que le-plan passant par les deux éléments linéaires (dx, dy, dz) (dx, dy, ds) contient le vecteur issu du point (x, y, 5) dont . les composantes sont | |
RQ V2P 3R 20 t2P dy dZ DZ DT À dT dy :
ou vecteur- tourbillon du vecteur (P, Q, R) ; donc, pour que deux éle- “ments linéaires soient en involution, xl faut et il suffit que le plan aéterminé par ces deux éléments contienne le vecteur-tourbillon.
Il est facile d’en déduire la condition d’intégrabilité de l’équation w — 0. Supposons en effet les axes rectangulaires ; toute surface intégrale passant en un point (x, y, z) de l’espace doit être normale au vecteur (P, Q, R) issu de ce point. Mais deux éléments linéaires quelconques du plan tangent doivent être en involution, et par suite ce plan doit passer par le vecteur-tourbillon. Donc le vecteur-tourbillon et le vecteur : (P, Q, R) doivent être orthogonaux ; c’est preclsement la ÉORdHON d’intégrabilité. |
On peut donner une autre interorétetion en considérant (dx,dy, ds) et (dx, dy, d£) comme les coordonnées homogènes de deux points dans un même plan. La condition w' = o exprime aussi que la droite qui Joint ces deux points passe par le point dont les coordonnées homogènes sont égales aux composantes du vecteur-tourbillon.
Considérons maintenant une forme à n variables, et deux éléments linéaires (dæ1, ,:. s"dæ,), (2x, ..., dæ,) issus d’un même point, Soient.
SU
