CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. Rs
A; et A2 les points d’un espace à (n — 1) dimensions dont les coordonnées homogènes sont (dx; ...; dæ,) et (dx, ..., 0x). Ces deux points déterminent une multiplicité linéaire à une dimension, ou droite, dont
les coordonnées pluckériennes sont les binomes dx;dxæR — dxrdxi
(Gi, — 1,2, ...,n) La relation w' — o exprime que cette droite apparlient à un Nes linéaire de l’espace à (n — 1) dimensions.Cétte inter-
prétation ne sera pas utilisée dans la suite.
5. Le système S;. — Etant donné un élément linéaire (dx, de, .…, dx,), issu d’un point (x,, &,, ..., æ,), les éléments linéaires issus du même point, en involution avec le premier, forment en général une multiplicité à n — 1 dimensions. Il n’y a d'exception que si la relation w' — o est vérifiée identiquement, quelles que soient les valeurs de Ôx,, dx,, ..., æ,. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que dx,, dx,, ..., dx, vérifient les n équations linéaires |
aude, + aL,dx, + ... + a,dx,—0, AndTs + Asdts +... ES 0!
| aude, + 4 dT, +... +a,, dt, —=0.
De tels éléments linéaires seront appelés singuliers ; les éléments linéaires singuliers issus d’un point sont donc en involution avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.
Si n est impair, il y a toujours des éléments linéaires singuliers, puisque le déterminant A des coefficients ax est nul (t). Sin est pair, et si A est différent de zéro, 1l n’y a pas d'éléments linéaires singu-
liers. C’est le seul cas où 11 n'existe pas d'éléments de cette espèce.
Soient (dx,, dx,, …, dx,) un élément linéaire singulier issu d’un point (x, æ,, .…, æ,), et (dy,, dy, .…, dy,) l'élément-inéaire issu du point (y,, Yes +, Yy) QUI correspond au premier par le changement de variables (6). Puisque le premier élément est en involution avec tout autre élément linéaire issu du même point, le second élément linéaire (dy,, dy,, ..., dy,) doit aussi être en
A . (t) Pour démontrer qu’un déterminant symétrique gauche d'ordre impair
est nul, il suffit d'observer que ce déterminant change de signe, quand on change le signe de tous les éléments. Or cette opération ne change pas la
valeur du déterminant, puisqu'elle revient à échanger les lignes et les colonnes.
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involution avec tout autre Pre: linéaire issu du même point Fou l'espace (y,, y, ..., ÿ,). Il faudra donc que l’on ait
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quels que soient 0y,, dy», ……, y, et, par suite, que dy;, de ST:
qenAen les n équations du système
budys + bidys +... biid m— 93 budy, + basdy, + ...0,,dy, —=0;
- . e. . ° L Li ° CI L LE L2
bdyi + TUE Hu bndy, —0, quis se déduit de la nouvelle forme de Pfaff
D = Yidys + Yade + 2 + dy,
de la même façon que le système S, se déduit de la forme primi-
tive. Le système SN, est donc un système covariant de la forme w,.
relativement à tout changement de variables.
En d’autres termes, si, pe le changement de variables défini par
les formules (6), la Re Xidæ:; Aevient y Yidy:, le système
PAT = S, se transforme, par le même changement de variables, en S, 1), Supposons que le déterminant A soit égal à zéro, de sorte que
les » équations de S, se réduisent à r équations linéairement distinctes (r <Z n). Ce système admet alors une infinité de multipli-
*. cités intégrales à une dimension, dépendant de constantes arbi-
traires, sir — n — 1, et de fonctions arbitraires si r << n —51. On
peut en effet adjoindre aux r équations linéaires du système S, un
système de 7 — r — 1 équations linéaires en dx,, dx,, ….,dx,, à coefficients arbitraires, de façon à former avec les premières un système de n — 1 équations différentielles ordinaires (1)
