CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

Lam — Lay s ve Ly — L4. Nous poserons fi — w&, et nous aurons ensuite à chercher une intégrale, distincte de w,, de l’équation

otr-#qdudf = 0.

me es -Cns

Léna À 4 ut GT à Ne A er MAR

Cette équation est équivalente à un système complet admettant

2m — 2 intégrales indépendantes, y compris l'intégrale évidente :. Ce système est donc formé de n — 2m + 2 équations linéairement distinctes, Pour les obtenir, il sens d’égaler à zéro les coefficients des monomes

CN ER Le PR 1e AE TC A A 0 Mr M RS CT dTymdTy

du té symbolique w®*—-#du;df. En observant que le coefficient de dx; dans du, se réduit à l’unité pour les valeurs æ,°, …, x, et que le coefficient de dx, ... dx,,,; n’est pas nul par hypothèse

pour ce système de valeurs, on voit que ces coefficients renferment

2 of. Fes respectivement les dérivées —2%—, nu 27 multipliées par un dL2Mm A dEn coefficient qui n’est pas nul pour les valeurs initiales considérées, f à d : ° e e et en outre des termes en 2L., ren RAA . On obtient ainsi un DT DL2m—2

9 système de n — 2m + 2 équations que l’on peut supposer réso-

CR ER CE En ML AN mp terne Menus 7 APT

lues Ês not je Fr is , les coefficients des dérivées dDLImM-1 dTCn

pe) p) de es of HS LS PRES étant-holomorphes pour; = 2, 54, = a dLC4 D LIm—2 | Ge:

Ce système admet une intégrale w,, holomorphe dans le domaine DÉPOT, D, 0)Se réduisant à Ly POUT Lin 4 — LC em4? 7 HE RE

Cette intégrale est évidemment différente de u,, et on verra de même que l'équation symbolique

w2n—6)du,du,df 0

peut être remplacée par un système complet de 7 — 2m + 3 équations qui admettent une intégrale w, indépendante de u, et u,,

holomorphe dans le domaine du point (2°, ,:., æ,°) et se réduisant à x; pour |

0 7 === 0 Lom—2 — TL 2n—2) RAA Ly Lr— Ty .

Ps el + — "à nn ni té tre re

Il est clair que le raisonnement peut se continter jusqu à la der

nière équation 3 Sa ne du, df = 0,

qui est équivalente à un système complet de n — m équations admettant une intégrale w,, holomorphe dans le domaine du point (x,°, …, æ,°), se réduisant à &,, pour Loi = Lyar cer Un Ty»

En résumé, on obtientainsi un groupe conjugué de m fonctions (ay, Us …, U,), qui sont holomorphes dans le domaine du pornt (æ,°, …, x), et qui se réduisent à x, ..., æ, respectivement, lorsqu'on y fait

BEA MEN Lynta = L'pis ee Un — Ln*

Nous dirons pour abréger que ce groupe est un groupé principal relativement au système de valeurs initiales x,°, .…, pe

4. Solutions singulières. — On a déjà remarqué que l’équa: tion générale de Pfaff peut admettre certaines intégrales auxquelles ne correspondent pas d’intégrales de l'équation ramenée à sa forme canonique (n° 46). Il est possible maintenant [de voir comment on peut définir d’une façon précise ces intégrales et reconnaître s’il en existe. Soient w — o une équation de Pfaff de classe 2m—7 à n variables, et M; une multiplicité intégrale à À dimensions de cette équation. Nous supposerons que l’on peut trouver sur cette multiplicité un point (x,°, ….,æ,°) tel que tous les coefficients de soient holomorphes dans le voisinage de ce point, et que tous les coefficients de (2%? ne soient pas nuls pour ce système de valeurs. Nous allons montrer que cette intégrale M, peut être obtenue par la méthode générale de résolution exposée antérieurement (n° 15). | |

On vient de démontrer en effet qu'il existe m fonctions Us Ugs Ur formant un groupe conjugué pour l'équation w — 0, holomorphes dans le domaine du point (x°, .…., æ,°) et se réduisant respectivement à æ, .., æ,, quand on ÿfaitæ,,,= us. æ, = x. Ces m fonctions forment évidemment avec Lnyts en Le un système de n fonctions distinctes, et si on les prend pour variables indépendantes, l’équation w = o devient 5

(26) wo = U,du, + ... + Ü, du, = se

sœnere

REA er ar patiemment hrège