CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

U,, U;, ..., U,, étant des fonctions holomorphes de %,, ...,u,, La +) L, dans le domaine du point =, …,u, = x, Lapin = Lis eee À, = 2°. Le coefficient U,, n’est pas nul pour ce système de valeurs, car U,,° est égal au coefficient de dx,, dans « pour les valeurs æ,°, .…., x,°, d’après la définition même des fonctions 41, …, u,,, et par hypothèse ce coefficient n’est pas nul.

Pour obtenir toutes les intégrales de l'équation & — o passant au

point considéré, on peut donc diviser tous les coefficients par U,,, ce qui ramène l’équation à la forme canonique

(27) v,du, + ... + v, ,du,,, + du, =

ñn

Us Vos ss V1 étant aussi des fonctions holomorphes de æ&,, .…, æ,

dans le domaine du point (x,°, …, æ,°). Les 2m — 1 fonctions

Uys ve.) Up Ugs Vas ve.) Un SONt distinctes, sans quoi l'équation

w — o serait de classe inférieure à 2m— 1.

Par hypothèse, l'intégrale M; de l'équation w w — 0 est représentée par un système d'équations

D: — Palis +.., LS RE € dc A PE | à À

les » fonctions +; étant holomorphes dans le domaine d’un système

de valeurs £,°, ..…., {n° pour les À variables £,, ..., {1, et prenant les

valeurs æ,°, .…, %,°, pour 1, = 4,0, :, fn = 1. En remplaçant

Lyr ces Ln PAT Ps ..., Ÿ, dans les 2m — 1 fonctions w;, vx, on a les

équations d’une multiplicité intégrale M’ de l’équation transformée. Imaginons que l’on ait pris pour variables w,,..….,u,,, U,,..., v etn—2m +1 des anciennes variables æ,, ...,xæ,. La multiplicité M'est définie par un certain nombre de relations entre les variables w;, vx, et la multiplicité M; s'obtient en adjoigant aux relations précédentes un certain nombre d’autres relations où figurent

les autres variables. Cette intégrale M; peut donc être obtenue par

l'application de la méthode générale du n° 15.

Les seules intégrales auxquelles ce procédé ne s'applique pas sont donc les intégrales (‘) telles que les coordonnées de tous leurs points annulent tous les coefficients de «f?m—2), L

() Nous laissons de côté les intégrales telles que l’un au moins des coeffcients de w cesse d’être holomorphe dans le voisinage de l’un quelconque des

di i-+ dés |

Nous appellerons INTÉGRALES SINGULIÈRES les intégrales de léaias | tion w — o satisfaisant à cette condition.

Pour qu'il existe des intégrales singulières, il faut donc que les équations obtenues en égalant à zéro tous les coefficients de w(2m—2) soient compatibles. Si ces équations n’admettent pas de systèmes ‘de solutions communes formant une multiplicité à r dimensions (">> 0), il n'existe pas d’intégrales singulières. Si ces équations définissent une multiplicité, cette multiplicité peut se décomposer en plusieurs multiplicités analytiquement distinctes. Soient

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les équations qui définissent l’une de ces multiplicités M,-x. Le système (28) étant supposé mis sous forme normale, on peut tirer de ces équations À des variables, x,, ..., æn par exemple en fonction des » — h autres variables, et en remplaçant æ,, …., æn par

leurs expressions dans l'équation proposée, on sera conduit à une

nouvelle équation de Pfaff w, — o à nr — À variables, dont toute

intégrale fournira une intégrale singulière de l'équation proposée.

Cette équation w, — o peut avoir elle-même des intégrales singu-

lières, que l’on recherchera de la même façon. Il est clair que cette suite d'opérations aura un terme, puisque le nombre des variables . va en diminuant quand on passe d’une équation de Pfaff à la suivante.

REMARQUE, — Il pourrait se fire que Poe w—0 admette des intégrales singulières, telles que les coordonnées de tous leurs points SR Et non seulement les relations (28), mais aussi celles que l’on obtient en égalant à zéro tous les jacobiens des À fonctions fi, ..., f#, par rapport à À quelconques des variables x, &, .…., æ,. En adjoignant aux relations (28) ces nouvelles équations, on obtiendra un nouveau système que l’on étudiera comme le premier, s’il est compatible, et ainsi de suite.

points de cette intégrale. Par exemple l'équation

admet des intégrales à deux dimensions qui sont des sphères de rayon un ayant leur centre sur os. Elle admet en outre pour intégrales le cylindre a + die = Het toutes les LRPrEe de ce ophpdrés

wo! = dtsdXs + dxidx,s,

APE £ (= — dxidxsdxsdx,, 1 où = — xidætidadrsdr;dxs, | 1 des à à