CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
sont nuls en tenant compte des relations (30), les # — À fonctions fn41, .…, fn forment un groupe conjugué pour la nouvelle équation, et réciproquement. On aura donc à chercher successivement une intégrale f;+1 du système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients du produit w®#—?%df} ... dfrdf, puis une intégrale f12 du système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients de o6r—#)df, -». dfrridf, ..., et. enfin ‘une intégrale fh+m du. système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients du produit wdf, ... dfnim-1df,les variables étant supposées liées par les relations (30). Si l’on choisit ces m fonctions f»11, ..., fnim de façon qu'elles soient indépendantes, même en tenant compte des relations (30), l’équation w — o prendra la forme canonique
odfh41 Æ +, + pmdffim—=0,
quand on fera f, — 0, .…, fn — 0 après la transformation.
On peut encore distinguer les solutions générales du problème et les solutions singulières. Le nombre m étant défini comme on vient de le
dire, une intégrale fait partie de l’intégrale générale si les coordonnées » P
d’un point quelconque de cette intégrale n’annulent pas tous les coeffi-
cients de w(?2n—2)df, ... dfn. Soient {æ10, …, æn°) les coordonnées d’un point satisfaisant aux équations (30) et n’annulant pas tous les coefficients de w(22-2)df, .., dfn. Il est clair que ces coordonnées n’annu-
lent pas non plus tous les coefficients du produit df, … dfn, c’est-àdire tous les jacobiens des À fonctions fi, ..., fn par rapport à À quelconques des variables x, .…, æ,. On peut donc faire le changement de variables indiqué plus haut et, en poursuivant le raisonnement comme au n°47, on verra facilement que toute intégrale de l’équation w — o passant au point (æ1°, ..…., ænt) et vérifiant les À rela-
‘tions (30) correspond à une intégrale non singulière de la nouvelle
équation de Pfaff.
: Les intégrales singulières sont celles qui annulent tous les coefficients de w(?2-2)df, … dfn. On les détermine, comme plus haut, en adjoignant aux relations (30) celles qu’on obtient en égalant à zéro tous les coefficients de w(?%—2)df, ... dfn, ce qui conduit à un nouveau problème de même nature que le premier.
49. Intégrales à un nombre donné de dimensions. — L'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre à une seule fonction inconnue conduit à un pro-
blème plus particulier, qui revient à déterminer les intégrales G. Leçons. 13
- d'une équation de Pfaff, situées sur une multiplicité donnée, et
ayant un nombre donné de dimensions.
Ce problème peut évidemment être formulé ainsi : Trouver les intégrales d'une équation de Pfaff définies par un système de r équations, parmi lesquelles h relations (h < r) sont données à l’avance. |
Il est aisé de reconnaître à l’avance si ce problème admet des
solutions au moyen des deux lemmes suivants. re
Lemme A.— Si une intégrale d'une équation de Pfaff est définie par un système de r relations, les coordonnées d'un
point quelconque de cette imégrale annulent tous les coefficients
de w(?r).
Cette propriété étant indépendante des variables au moyen des- ‘ quelles on exprime la forme «, nous supposerons qu'on a pris un système de variables 1, .…., xx, tel que l'intégrale en question
Mr soit définie par les r relations - (42) 2 = 0 4 Br 0.
Les coefficients Ar11, …, Ah de la forme | w = Ajde, +... + Andre + Arid@nss + + And
doivent donc s’annuler quand on y fait x, = 0, .…., = 0. Dans la forme dérivée
RE dAdæs + RS dard PR <L'TRdE |
toutes les dérivées En a . nulles aussi pour > 0, F ue 0.”
quand on y remplace Lise Un PAPLÉETO, de sorte que le coefficient de dxr+idr+; est nul pour ce système de valeurs.
Il s'ensuit que si l'on ne conserve, dans chacun des r + 1 fac. teurs du produit | à
(27) — . ww!) ,
que les termes dont les coefficients ne sont pas nuls pour Li = 0, .…, Lr — 0, chacun de ces termes contiendra au moins l’une des différentielles dxi, .…., dær. Comme il y a plus de facteurs
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