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tain nombre de relations qui doivent être vérifiées par les coordonnées de tous les points des multiplicités cherchées.

En adjoignant ces relations aux précédentes (33), on obtient un système de }’ > h relations distinctes. Si »’ est supérieur à r, ou si ces À! relations sont incompatibles, le problème n ‘admet pas de solutions. Si À r, on opérera sur ce nouveau système comme sur le précédent, et ainsi de suite. En continuant de cette façon, on constatera l’impossibilité du problème, ou bien on arrivera à un système de équations distinctes (k < r),

GA) Pi = on fh = 0,

comprenant les équations données (33), telles que le produit sym-

bolique «2r—2%)df, ... dfx ait tous ses coefficients nuls, en tenant compte de ces At on elles-mêmes. |

Si k—r;les équations (34) définissent une multiplicité intégrale, satisfaisant aux conditions du problème.

Supposons k Cr, et soit m le plus petit nombre entier. tel que tous les coefficients du produit symbolique

Cmdf,df, … dfr

soient nuls, en tenant compte des relations (34) ; ce nombre m est

par hypothèse au plus égal à r — #. On a vu au paragraphe précédent que la recherche des intégrales de l'équation w —0, situées sur la multiplicité définie par les équations (34), se ramène à la

résolution d’une équation de Pfaff de classe 2m — 1. Les intégrales non singulières de cette équation sont définies par un ou plu-

sieurs systèmes de mn relations, auxquelles on peut adjoindre de nouvelles relations choisies arbitrairement. Si l’on adjoint à l’un de ces systèmes de m relations les # équations (34), on a un système de m + k < rrelations définissant une intégrale de l'équation w — 0, et les coordonnées d’un point quelconque de cette intégrale vérifient m + k relations, parmi lesquelles sont les Æ relations (54). Sim+ k <r, il suffira de leur adjoindre r — (m + k) relations choisies arbitrairement, pour avoir une intégrale satisfaisant aux conditions voulues, et'il est clair qu’on les obtiendra toutes de cette ee ES La méthode s applique en particulier pour k = 0, et permet de

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