CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

déterminer toutes les intégrales de w — 0 qui sont définies par un nombre donné r de relations distinctes, c’est-à-dire toutes les intégrales à un nombre déterminé de dimensions.

REMARQUE. — L’équation (35) GR) If 4x dir = 0

entraîne d’autres relations de même forme où ne figurent

qu’une ou deux des fonctions f,, .…, fn. Supposons, en effet, qu’il

existe une intégrale définie par r relations seulement, parmi lesquelles la relation fi — o. Il résulte du lemme B que les coordonnées d’un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients du produit w®r-24df;. De même s’il existe une intégrale définie par r relations, parmi lesquelles les deux relations f; — 0, f; = 0, le même lemme prouve que les coordonnées d’un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients des : produits w@r—#df;df;, wlr-3)df;dfr. à |

Il s’ensuit que la relation (35) entraîne les relations suivantes oUr-2df; = 0, Or) dfdf; —0, wtr-fidf; —=o (i,j —=1,2... À), toujours en tenant compte des relations f; — o elles-mêmes.

Inversement, sous des hypothèses très générales, les relations (36), ou un certain nombre d’entre elles, peuvent remplacer l’équation (35), et M. Cartan en a déduit une nouvelle méthode de résolution du problème qui est très analogue aux méthodes exposées plus haut (n# 43-46) pour la formation d’un groupe conjugué ou semi-ConjJugué: | |

Nous renverrons à son Mémoire pour les détails de cette méthode.

‘ainsi que pour la recherche des solutions singulières.

50. Application aux équations aux dérivées partielles. — Reprenons le problème de l’intégration d’un système d’équa-

tions aux dérivées partielles

Jar Los ses Ty 23 Pasvees Pa) = 0,

HA ss Lys Z 5 Pas Pa )0) (37)

LEZ Les LI Lys Z ; P:;> …., Ph) —= O,

où le problème équivalent qui consiste à déterminer, dans l’espace

àon + 1 dimensions, üne intégrale à r dimensions de l’équation de ‘Pfaff |

(38) w — dz — p,dx, — ... = p,d#,=0,

dont tous les éléments vérifient les 4 relations données (37). C’est un cas particulier du problème étudié au paragraphe précédent, et dans le câs actuel le nombre f est égal à n + 1: D’après la remarque qui termine ce paragraphe, nous pouvons adjoindre aux rela= tions (80) celles que l’on obtiènt en égalant à zéro tous les coeff= cients dès produits sÿmboliques

wr—2 ff}, v®—0 dfd/f; : RER PE Te 0

dire n + 1, 602 vw Pnest de degré 2n + 1, et le produit

w®%r-2)Jf est ideñtiquement nul, quelle que soit la fonction jf. Quant au produit @7—-#df;df;, où o2%-—2%)4f;df;; qui à été calculé

plus häut (n° 42), il ne contient qu’un seul terme | (fi, fildsdæx,dp, ... dx,dp,,

et nous voyons que {ous les éléments des intégrales cherchées doivent satisfaire aux relations

(89) Lis fr] = 0, GJ—=1,9,:4,n); c'ést lé théorème fondamental de la théorie dessystèmes éh inivolution (Léçons, n° 58). | … La méthode d'intégration de Jacobi se rattache aussi très facilement aux méthodes d'intégration d’une équatiofi de Pfaff, qui ont été exposées dans cé Chapitre. ip Les raisonnéments du fuméro précédent, appliqués au cas actuel, prouvent que l’on peut toujours ramener l'intégration du système (37) à l'intégration d’un système en involution, si l’on ne constate pas l'impossibilité du problème; ces raisonnements ne diffèrent pas d’ailleurs de ceux du n° 58. Supposons donc que les équations (37) forment un système en involution, c'est-à-dire que

les équations (39) soient des conséquences algébriques des rela-

tions (35). Nous pouvons même supposer que l’on a mis les

équations (37) sous unie forme telle que les conditions | fi, 5] — 0

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