CHAPITRE IV. —— APPLICATION DÉS FORMES DPAROEIQUES

soient des identités. La classe c de w étant 272 + 1, les h fonctions fis +, fh vérifient donc les relations

O1) fi — 0, DÉSIR ES ON CUT A EST), et par suite ces À fonctions forment un groupe conjugué ou semiconjugué par rapport à w (n° 46). On peut alors déterminer un groupe semi-conjugué de n + 1 fonctions, comprenant les fonctions f,,./2, …, fn. Pour cela, on cherche d’abord une intégrale fn+1, indépendante de f,, ...; fn, du système

edf = 0, wr-Hdfdf— 0, …, wt-df;df — 0 ;

la première équation est vérifiée d'elle-même, et ce système se réduit à

Re .….. Péri; On a ensuite à chercher une intégrale Ja indépendante R TA far +: fh+1 du nouveau système

Juf1= 0, afin [fanfl=o, et ainsi de suite. Ayant ainsi déterminé un système de n + 1 fonctions distinctes f,, .…., fh, .…, fn+i en involution, ces n + r fonctions forment un groupe semi-conjugué pour l'expression w, que l’on peut par conséquent mettre sous la forme © — edf +... + qndfh RS gnH1dfn+4.

Les équations

Fr — 0, SENTE ROIS = Œh1; UT AA — An41,° OÙ Ah; -, Ant1 Sont des constantes arbitraires, donnent donc une solution du problème. C’est une intégrale complète, et la méthode précédente est identique à la méthode de Jacobi généra-

lisée par Mayer. Toutes les autres intégrales se déduiraient de

même des solutions de l’équation de Pfaff

pntAadfh44s + ... + vsndfnyi = 0 définies par n + 1 — h relations, ce qui conduit précisément à des résultats déjà exposés (Leçons, n° 51).

Dans le cas particulier où f;; ..…, fn ne renferment pas z éxpli-

citement, les crochets | j5, f;] se réduisent aux parenthèses ( fé, f;), et la méthode peut être simplifiée de façon à retrouver la méthode même de Jacobi.

Supposons donc que l’on ait À fonctions distinctes f,, …, fn, indépendantes de £, telles que les parenthèses (ji, f;) soit nulles identiquement. La variable z ne figure pas dans les coefficients des équations du système complet

fl os Li 1 = 0

qui déterminent /;141. Si l’on adjoint à ces équations la relation ie

— 0, on obtient un nouveau système complet

af) = 0, ce (Jin f)=0

pour déterminer une fonction f des 2n variables x;, pa.

La même remarque s'appliquant aux systèmes suivants, on peut donc déterminer de proche en proche n fonctions distinctes Jar es fhs + fn ne renfermant pas z, et telles que toutes les parenthèses (5, f;) (4, j — 1, 2, .…., n) soient nulles. Ces n fonctions forment un groupe conjugué par rapport à S forme w, car la

relation wC—-2%df = 0 se réduit dans ce cas —- — 0 (n° 43). Si

donc on prend pour nouvelles variables

2, Jar fes er Pas vos Pro

Pas ss P, étant n fonctions convenablement choisies :ndépendantes de z, formant avec f,, .…, f, un système de 2n fonctions distinctes des variables x;, Ph on sait que w prendra la forme

u) — dz£ + odfs + Se ee endf a dfn+a,

/n+1 étant une fonction des variables (x;, px) qui se détermine par une quadrature (n° 48). On aura donc dans ce cas une intégrale complète

PT 0/0, fix = ans es fn An E = fntt + Anti,

qui s’obtient par une quadrature, quand on a déterminé fh44, .…., fn. Cette méthode n'est pas distincte au fond de la méthode même de Jacobr. Supposons en effet, afin de nous placer dans le cas consi-