CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

déré par Jacobi, que le jacobien PR ne ne soit pas nul pour 4s ces PR tous les systèmes de valeurs qui annulent j,, .…., fn. Imaginons

que l’on prenne pour variables x, RÉ AT ÉRERN R is En hs il faut pour cela résoudre les n He

(4o) : fi =Yÿnrs fn = Yÿn.

par rapport à p,, .…, p, et porter les expressions ainsi obtenues dans w, ce qui conduit à une nouvelle expression de cette forme

w — dz + o,dy, + ... + o,dy, + dfnxs

+1 étant une fonction de æ&,, .…., Æ,s Yys cs Yne Si l'on regarde +1 1 nm) Ya Yn }

dans l'identité précédente y,, .…, y, comme des paramètres, la

fonction f,,,, considérée comme fonction des seules variables

Lys +, L, à évidemment pour différentielle totale

dia Didi RE pdd,

Pas ++ P, étant les fonctions des variables æ,, .…, x, et des paramètres y,, .…, y, déduites des relations (4o)

51. Application aux transformations de contact. — Les théorèmes classiques (Leçons, n°8 75 et suivants) se déduisent très facilement des propriétés d’invariance des formes dérivées et des

produits symboliques. Soient Z, X,, .…., X,, P,, …, P, un système

de 2n + 1 fonctions des 2n + 1 variables £,2,, ..…., æ,, Das +, Ps telles que l’on ait identiquement

(41) «dZ — P,dX,—..:—P,dX,; — p(dz — p,dx, —.….—p,dx,),

pb étant une fonction non identiquement nulle des variables

£, di, pr. L'identité précédente peut s’écrire

(2) | DEEE en posant | | QG = dZ — P,dX, — ... — P,dX,, Pt A er OC de sorte que la forme de Pfaff a se change en pw, quand on y remplace les variables Z, X;, Px par leurs expressions au moyen des variables, 2 Mi, Pk-

202 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF. ; De la relation (42) on déduit Q' = pw' + dpXw, (= (pu! + deu) = p(u' re ne.

FOR E Huy.

On a done QÙn) == pr Hi(n), ou (n° 42) ie CS dEuX, .:, dP, = pttdidæ, ... dp,, c’est-à-dire se

| D(Z, X4, ..… P,) ss: a: | 3 Ms Mo cts Lnd 5 pndi ü ) D(z; Lys » Pn) g :

ce qui prouve que les an + 1 fonctions A # Pz; sont nécessaire-

ment distinctes.

Soient F, ® deux fonctions quelconques dés variables ZX Pr, Jet te qüe deviennent ces fonctions lorsque l'on remplace ces

- variables Z, X;, Pz par leurs expressions au moyen des Variables -

ZT; ie On montre comme tout à l'heure que l’on a aer9 = = = pro(r 2),

et pâb s suite on a l'identité

Gn) a@r-2dF db — pruên-) dde,

site que ‘soient les fonctions F, #. Les produits symboliques qui figurent dans cette formule ont été calculés au n° 42.

arr—2)4F db LE, PIOZHXAS UE dl, | or—2)dfde ae. pr eldsdæ, 5 KA dpi en posant |

= -* 0 ° & ‘ ; NE /0% Sud 2 [2 DE [F, æ] RTS Res RE 2Z )— dP; Eee 1 2Z }

ee So 5e ie 6) hear CL pl = (+ nes (25 + pi ne

| En rapprochant les formules (43) et (44), on en déduit la nou-

DE en