CHAPITRE IV: —— APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

velle identité |

(45) as(pe

Appliquons cette identité à tous les couples de fonctions obtenus en prenant pour F et & deux quelconques des fonctions Z; X;, Py; nous obtenons les relations établies directement

46) ; [Z; Xi] en [Xi, Xy] —= [X5, Px| = [P:, PF 0, | F LA 4 [Z, Pl = — pP;, (Pi, À] — p.

Dans ces formules [Z, X;] désigne maintenant

2Z É x) ue ( à;

A pk dar PK 5e ] op \oorx PA}?

et de même pour FE autres crochets.

-Réciproquement, étant données n + 1 es indépendante PNR SX Elder on LT UANbIES ES Lie D Pas cs. Pas SALLS-

faisant aux relations

(47) [Z, X]=o, [Xi Xx]—o,

il existe n autres fonctions P,, …, P, des mêmes variables telles que l’on dit identiquement

(48) dZ—P,aX,— ….—P,dX, = p(ds = pdx, —… —=p,de,)

p étant une fonction non identiquement nullé.

Les relations (47) expriment en effet (voir n° 46) que lès n n +I fonctions Z, X,, …, X, forment un BTOpE semi-conjugué pes w, On a donc une RE de la forme

où —= A,dX, + ...'+ À ,dX; + À,,,dZ,

qui est évidemment équivalente à la relation (48), car le coefficient

- À,.,, ne peut être nul, puisque w est de classe 2n + 1.

Où peut aussi obtenir de cette façon les crochets dé p et de l’üne quelconque des fonctions Z, X;, P4. La relation qui donné (Q')! peut en effet s écrire |

F étant une fonction quelconque des variables Z, X;, Px, et f ce

qu’elle devient après la substitution, on a donc l’identité

Les expressions de ces produits symboliques ont été obtenues plus haut :

QGn-0aF = À dZdX, .…. dPn — Hi Z Eds … dpn wen-0df = 2£ dedæ, .:. dpr, oPrdfde — [p, fIdsdx, ... dpn.:

En remplaçant dans l’identité DST il vient | OR nn TO (49) pps L + fe f].

En remplaçant F par les 2n + 1 pre Z, X;, Pr, on obtient

‘les expressions des nouveaux crochets :

$ dZ AN, EEE (SO) AA pp RATE PER ; dP; A Ent pe

52. Transformations de contact homogènes.— Une transformation de contact homogène est définie par 2n fonctions

Apr ses Mens Piarer Pr dO 2RNATIADIES 2,2 De ie D, Alle

que l’on ait l'identité (51): S'PAX ET PidX, pot Ad ordre

. En da par € et w le premier et le second membre de cette

relation, on a on -1) — (22 —1),

c'est-à-dire

(B2) CXIAP ESS OX PE dE Up OL ADS

ce qui montre que les 27 fonctions X;, Px sont indépendantes, puisque leur déterminant fonctionnel est égal à l’unité. Soit F une fonction quelconque des variables X;, Px, et f la fonction des variables x;, px obtenue en remplaçant dans F les X;, P; par leurs expressions. L'identité

on-D4F — w2r-Adf

CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 205 devient, en tenant compte de la relation (52),

| “Ka P, + Pi ne . + P = Bd on «+ D a

En prenant pour F l’une des fonctions X;, P;, nous avons

dX; | OX; | TR EE SR ETS ne (3) ‘oP; | dP; Pa de +. Popne re

ce qui montre que les X; sont des fonctions homogènes de degré séro, et les P; des fonctions homogènes de degré un, des variables p,, …, p,(Leçons, n° 80). |

On a enfin, en désignant par F, ® deux fonctions quelconques des X;, Px, et par f'eto les fonctions des x;, px obtenues par la substitution, | |

QC) JF dD = wer-3dfde,

ou, en tenant compte de la relation (52),

D F 0 oF o@ ENS af 29 2 \risxi ox op) 24 ps oui xs op = VE

Cette identité, appliquée à deux quelconques des fonctions X;, Px, donne les relations connues (Leçons, n° 80). (54) ( CRAN) = NP EE 0, (BE PA) SD mme

re ASP RES

Réciproquement, étant données n fonctions indépendantes À, ..., Xn des 2n variables -æ,, ..…., &Æn, P1, ..…., Pr, homogènes el de degré zéro en p,, ... Pn, et satisfaisant aux relations

(Xi, Xg) = 0 CRE 2 00 rs

il existe n autres fonctions P,, .…, P, des mêmes variables défjinissant avec les premières une transformation de contact homogène.

Les n fonctions X; vérifient en effet les relations

oPr—2)QX; = 0, o(2r—3)dX;dX7 = 0,

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