L. Re CHAPITRE V
INVARIANTS INTÉGRAUX (!)
58. Définitions. Généralités. — Les invariants intégraux ont été considérés pour la première fois par H. Poincaré, qui en a fait d'importantes applications à la Mécanique Céleste. La théorie des formes symboliques de différentielles permet d'établir de la façon la plus naturelle les propriétés fondamentales de ces invariants.
Considérons d’abord un bre de trois équations différentielles |
| HR EAN ATEN =. ne Via ss dh
X, Y, Z étant des fonctions de æ, y, z. Pour faciliter les énoncés, nous supposerons que ces équations définissent le mouvement d’une molécule dans l’espace, la variable { représentant le temps. La molécule qui, au temps {— 0, esten un point M, (te, Yo, 20) est venue au temps { en un point M,, de coordonnées (x, y, £). Lors-
1 que le point M, décrit un certain domaine D, de l’espace, le point 7 ( M; décrit un domaine correspondant D. Cela posé, soit : F(x, y, z) une fonction des variables x, y, z ; nous dirons que l'in- | .. tégrale triple I= de É Î F(x, y, s)dxdydz est un invariant
| intégral du système (1) si la valeur de cette intégrale triple, étendue au domaine Ds, est égale à la même intégrale étendue au domaine D,..Par exemple, si les équations (1) définissent le mou-
Je . () Auteurs à consulter :
H. Poincaré, Les Méthodes nouvelles de la Atécanique Céleste, tome III, en particulier le Chap. XXII.
pe Donner, Rendiconti del Circolo Mätematico di Palermo (1901-1902).
E. Goursar, Journal de Mathématiques, tome IV, ces Série, 1908.
— Jbid., tome I, 7° Série, 1915.
js Annales Scientifiques de la Faculté des Sciences F7 Toulouse, tome VIL, 1915.
TND
vement d’un fluide ëncompressible, le volume du domaine Dt est constant, et l'intégrale Ji de dxdydz est un invariant intégral.
. On définit de la même façon les invariants intégraux de lignes et de surfaces, Si le point M, décrit une ligne L, ou une surface S,, le point M; décrit une ligne L; ou une surface S;. Une intégrale curviligne
IEC + Pdy + ydz
est un invariant intégral du système (1), si la valeur de cette inté-. grale prise le long de la ligne L; est indépendante de {et égale à
la même intégrale curviligne prise le long de L,. De même, une intégrale de surface |
1e J Pdyds + Qdsde + Rdrdy
est un invariant intégral, si la valeur de cette intégrale étendue à la surface S; est indépendante de #. |
‘ Ces définitions s’étendent aisément à un système d’un nombre quelconque d'équations différentielles
(2) dx __ dt; RE A —
nous supposerons que les fonctions X; sont uniformes et continues,
ainsi que leurs dérivées partielles, et ne renferment pas le temps #.
Nous appellerons trajectoire toute multiplicité à une dimension de l’espace à n dimensions représentée par les équations
Che La —fi(t), Left), Ly ft),
fa), F0, ..., f,(0 formant un système de solutions des équations (2). De chaque point (æx,°, x, …, x) de l’espace à n dimensions part une trajectoire l qui est décrite par le point (œ Le … Æ,) lorsque f varie.
ni valeur initiale de { étant supposée nulle, considérons dans
de à n dimensions une multiplicité quelconque à p dimen-
sions E>; ; de chaque point (x,°, x,0, …., x?) de cette multiplicité part une trajectoire et, au bout du temps #, le point mobile est
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venu en un point (x, æ,, .…, æ,). Le lieu de ces différents points est une autre multiplicité à p dimensions E;, qui correspond point par point à la multiplicité FE. Soit d'autre part w une forme sym-
bolique de degré pn, (4) o— Ÿ Au, ….. a dx, dr, ENT
Xp
si l'intégrale multiple d'ordre p
| (5) L= fu
a la même valeur pour les deux multiplicités E, et E, quel que ë soit {, l'intégrale I, est un invariant intégral d'ordre p du sysj tème (2). Le nombre p pouvant varier de 1 à n, il y donc n espèces . d’invariants intégraux. = Il résulte des propriétés des formes symboliques de différentielles que fout invariant intégral se change en un invariant intégral quand on effectue un changement quelconque de variables.
gen à
un nouvel invariant intégral r= fu du même système, w' étant
| | Soit en effet 1= fo un invariant intégral du système (2) ; si l’on € : ;
D effectue sur ce système le changement de variables défini par les. 7 formules &
î - Li = Qi (as Yas ses Yn)s CC — 1:22, .., nn),
d où les fonctions +»; ne renferment pas le temps #, la forme symboli- Î que w se change en une nouvelle forme symbolique 5, et le sys- 1 tème (2) lui=même est remplacé par un système de même espèce
: dy d d
