PAS CE SE RC TR CE

1 (2°) | Ye — Vi …. — # it 1 E

où Y,, Y,, .…, Ÿ, sont des fonctions de y,, y:, .…, y,,-ne renfer- | mant pas la variable {. Il est clair, d’après la définition même d'un invariant intégral, que l’intégrale I, — [= est un invariant, 1 k. | - 4

: intégral pour le nouveau système (2').

* De tout tnvartant intégral = fo du système (2), on déduit |

la forme dérivée de w. Supposons en effet la forme w de degré p, G, Prob. 14

1e Re

f Dre IT A TE LEA à 4% ie ne

et soit En une multiplicité à p +1 RO NONS de l'espace àn

dimensions. De tout point (æ,°, æ,0, ..., æ,°) de cette multiplicité part une trajectoire, et le point qui, RON t— 0, coïncide avec le point (x,°, æ,?, ..…, x&,°) est venu au temps { en un point de coordonnées (æ,, æ,, ..., æu). Soit E/.,, le lieu de ce point (x,, …, æ,) lorsque le point 7 RE PR décrit la multiplicité ps Ces

deux multiplicités Eû DA et E; ,41 sont limitées par deux multipli-

cités fermées à p dimensions e et 8; qui se correspondent point

par point comme les multiplicités Er et E P+1 elles-mêmes.

Or les deux intégrales fs étendues aux deux nes

E, éqeL E; a sont égales respectivement, d'après la FRERE de .

Stokes généralisée, aux deux intégrales ïe w, étendues aux deux mul-

tiplicités ee Ep, et par conséquent.ont la même valeur. De tout invariant intégral d'ordre p du système (2) on peut donc déduire, par des différentiations seulement, un nouvel invariant d'ordre p + 1 du

même système. Si on représente par I, l’invariant intégral f 5, on

représentera par 19 p44 l'invariant intégral il w', et j'appellerai

l'opération par laquelle on passe de I, à [4 l'opération (D).

Cette opération appliquée à un invariant fo" conduit à un résul-

tat identiquement nul, et par conséquent on ne peut déduire de cette façon d’un invariant I, qu’un seul invariant nouveau, et seu-

lement lorsque la forme w n’est pas elle-même une forme dérivée.

Remarques. ER à H. Poincaré a aussi considéré des invariants intégraux d’une autre espèce, tels que

fV b(xi, dx),

étant une véritable forme algébrique d'ordre » par rapport aux

différentielles, et non plus une forme symbolique. Ils se définissent

LA a

Leo Dre + +é

CEE

tn Je.