CHAPITRE V. —— INVARIANTS INTÉGRAUX

comine les invariants intégraux du premier ordre cf D'Aidæi,

dont 1ls sont une généralisation naturelle.

20 Il est évident que, dans la définition d’un invariant intégral, l'hypothèse que les fonctions X; ne renferment pas le temps n’a rien d’essentiel. Dans la suite, à moins de mention expresse, nous supposerons les X; indépendants de é.

30 Au premier abord, il semble qué la notion d’invariant intégral est tout à fait distincte de celle d’intégrale première. Cependant les deux notions peuvent se rattacher l’une à l’autre-par un passage à la limite. Il suffit pour cela de considérer les trajectoires issues de plusieurs points dont on fera grandir ensuite le nombre indéfiniment de façon à ce qu’ils forment une multiplicité à une ou plusieurs dimensions. On est ainsi conduit à un système d'équations linéaires, appelé par H. Poincaré équations aux variations, dont il a déduit les propriétés des invariants intégraux. Nous ne nous servirons pas dans la suite de cette interprétation (1). EN à

54. Invariants relatifs. — Les invariants intégraux que nous venons de définir, où les domaines E, et E, ne sont assujettis à

aucune restriction, sont des znvariants absolus. Il existe aussi des

intégrales Î w qui ne possèdent la propriété d’invariance que si

les domaines Er, E, sont des domaines fermés. De tels inva-

riants ont été appelés par H. Poincaré énvariants relatifs ; nous

les désignerons par la lettre J. Il est clair qu’on obtient un invariant relatif en ajoutant à un invariant absolu une intégrale de dif-

férentielle totale symbolique quelconque, puisque cette intégrale

étendue à une multiplicité fermée est nulle. Réciproquement, on

démontrera au paragraphe suivant que tous les invariants relatifs

s’obtiennent de cette façon.

Soit J, — Î w un invariant relatif, w étant une forme symbolique de degré p, qui n’est pas une différentielle totale ; l'intégrale

fe est un invariant absolu d'ordre p + 1. En effet, les valeurs

() Voir aussi le Traité de Mécanique de M. Appell (tome Il, p. 450),