CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

la fonction f, ne dépendant, comme les premières, que des varia-. bles x,, æ,, ..., æ,. Cela posé, si l’on prend un nouveau système Hmnéonnués vif Noyau in ref, dlecsystomeé, (2}vs6 change en un nouveau système de r équations différentielles dont l'intégrale générale est représentée par les formules

Yi Gi es Yna Gus 2=T+C,; ce système a donc la forme simple suivante, que nous appellerons forme canonique

(6) Ua — dynnt dE ge Cu o 0 I

Il est d’ailleurs évident que le. ane (2) peut être mis sous forme canonique d’une infinité de manières.

En effet, le système (6) ne change pas de forme quand on prend pour nouvelles inconnues n — 1 fonctions distinctes q(7,, .…., Y,1) des inconnues y;, et qu'on remplace z par £ + d{y,, …., y,:), Y étant une fonction arbitraire.

Cela étant, soit I— | w un invariant intégral absolu d’ordre p du

système (2); après le changement de variables qui vient d'être défini, la forme w se change en une forme symbolique 5 des différentielles dy, .…, dy, 1, dz dont -les coefficients sont fonctions

des y: et de z. L'intégrale [I w est un invariant intégral pour le sys-

tème canonique (6) Il est facile de trouver à quelles conditions doit satisfaire la forme # pour qu'il en ie ainsi. Soient E, un domaine à p dimensions de l’espace à n dimensions (y,, y, .…, His 2)tel E, le domaine que l’on déduit du premier en aug-

mentant les coordonnées £ de tous ses points d’une même quan-

tité é, sans changer les autres coordonnées. Pour que les valeurs

de l'intégrale ΰ, étendue à ces deux domaines, soient égales Le

quel que soit £, il faut et 1l suffit que la forme symbolique 5 ne change pas quand on change s en z + C, quelle que soit la constante C, ce qui aura lieu si les coefficients de cette forme ne dépendent pas de £ et dans ce cas seulement. Donc, pour que l'in-

tégrale ds & soit un invariant intégral absolu du système cano-:

nique (6), il faut et il suffit que les coefficients de la forme = soient indépendants de 5...

De tout invariant intégral absolu du système canonique (6) on déduira inversement un invariant intégral absolu du système (2), en revenant aux inconnues primitives Zu, Los …, %, Îl existe donc une infinité d'invariants intégraux absolus de tous les

degrés (de 1 à n) pour un système quelconque de n équations

différentielles (2). On peut écrire explicitement les expressions

générales de ces invariants, si l’on peut ramener le système à une

forme canonique, c’est-à-dire si l’on connaît l'intégrale générale de ce système.

À tout invariant intégral relatif du système canonique corres-

pond de même un invariant intégral relatif du système (2). Il est

facile d'avoir l’ expression générale des invariants intégraux relatifs

du système canonique (6). Soit en effet = Î œ un invariant

intégral relatif de ce système; l'intégrale 7. w est un inyariant |

absolu du même système (n° 54) et par suite les coefficients de la

forme s' ne dépendent pas de 3. On peut. donc écrire & — = ur Gode, w, et s, étant deux formes symboliques de degré p + 1 et p respectivement, si s est de degré p, qui ne contiennent ni £, ni d£z, Or,

on doit avoir w4 + a,02—o, et par suite a, —5,—0, On

pete donc trouver deux autres formes Q, et Q,, de degrés p et p—" respectivement, ne renfermant ni £, ni ds, et telles que l’on autos, 5er 2 (n° 26). Si l’on pose Q—0, + Q,dz, l'intégrale

Î Q est un invariant intégral absolu du système (6), et l'on a

Q'— w. La différence 5 — Q est donc une différentielle totale symbolique, et par suite tout invariant intégral relatif est la somme

d'un invariant intégral absolu et d'une intégrale de RACE

totale symbolique.

Il est clair que cette décomposition d’un invariant relatif peut être effectuée d’une infinité de manières, car on peut toujours ajouter à un invariant absolu une intégrale de différentielle totale qui