CHAPITRE V.— INVARIANTS INTÉGRAUX

soit elle-même un invariant absolu, et il existe évidemment une infinité d’invariants absolus de cette espèce. Les invariants intégraux du D canonique (6), qui sont de

la forme LE et SENTE TIR te NES IE SAUEE)

s’obtiennent de même en prenant pour ® une forme algébrique de degré m par rapport aux différentielles dy;, ds, dont les coefficients sont indépendants de £.

. Remarque I. — Connaissant r intégrales premières distinctes Piles re indépendantes de £ du système (2) (r<n — 1), on peut en déduire des invariants intégraux de ce système. Soit en effet w(/;, df:) une forme symbolique des différentielles d/, dfa,

dfrs dont les coefficients ne dépendent qué- def; Jo Re

V'iégrale Î w est un invariant intégral des équations (a) suffit d'observer qu'avec un système de variables canoniques y,, EEE Yu & cette intégrale sécrirait [2 la formesymbolique &

ne renfermant que les variables y,, y,, .…, yr et leurs différentielles. Par exemple, si f'est une intégrale première des équations (2),

É df est un invariant intégral absolu. Il est facile de le vérifier.

Soit l', un arc de courbe joignant deux points À, B,, de l’espace à n dimensions au temps {= 0 ; au temps f, les points A,, B, sont venus en deux points À, B, et l'arc l, est venu coïncider avec un

-arcT joignant les QE points À etB. On a bien \

JL = fi —h + ire df.

AcBo

Les invariants intégraux de cette espèce seront étudiés plus loin

Remarque I. — Une intégrale D df peut être un invariant

intégral, sans que f— C soit une intégrale première du système.

TP RL CR NL EE ER TES RE 4 PT AE PT EN es DEA 4 N ; OR en ne HIER TT PRE, n. Dr SES ; RÉ QU are : ! É =: = & : Ps AT Me Ê ET 2 “ ra Le

NOR RL RATE RAR ET ec

Par exemple, pour le système canonique (6), | dz est un invariant intégral, sans que z —C soit une M tAAIÉ première. D'une façon générale, pour que [ df soit un invariant intégral du système canonique (6), il faut et il suffit que j'soit de la forme

= GE + Q(Yar ce Yn-1)s

C étant une constante quelconque, + une fonction arbitraire de

UE «» Yn a (CF. n° 63).

56. Relations entre les coefficients d’un invariant. — Etant donnés un système différentiel de la forme (2) où les fonctions X; ne dépendent pas de #, et une forme symbolique w de degré p en dx,, dx,, …, dæ,, dont les coefficients ne dépendent pas : non plus de {, nous nous proposons de rechercher les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients de cette forme pour

que f w soit un invariant intégral absolu. Considérons, comme au n° 58, un domaine variable Ef de l’espace à n dimensions, et

soit [,(£) la valeur de l’intégrale f w étendue à ce domaine. Pour

que J w soit un invariant intégral, il faut et il suffit que l’on ait

di, Pr — 0. Or cette dérivée peut se calculer par les règles habituelles

de différentiation sous le signe intégral Nous supposerons pour cela que l’on donne à { un accroissemeut ôf, et nous calculerons la partie principale de la différence I,(4 + ôé) —I,(#), en regardant ô4 comme l'infiniment petit principal. Soient (x, æ,, ..., æ,) les coordonnées d’un point quelconque de la multiplicité E, et (Yas Yes vs YA) les coordonnées du CoER correspondant de la mul-

tiplicité pro on a

Pen EX (D RSS A LT NO EE ne (TT MEN

les termes non écrits étant infiniment petits d'ordre supérieur au premier en ôf. Ecrivons les deux intégrales I,(4), I,(£ + ôf) sous forme explicite, en exprimant les coordonnées d’un point quel-

GE pate + 2, > L à 3 er. TRS L72 = h Ab 1 à p 2 té be FA FER, ire an dc ") À da . PAPE U z ds 1.” à 5 : : > à “ + | X 3 z . : « 1 “ La ;