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Ces formules peuvent être résumées dans la règle suivante, qui permet de calculer très simplement la forme Q : on remplace dans w chaque coefficient Aix... par X (Aix….r), et à la forme: ainsi obtenue on ajoute la somme des monomes que l’on déduit de « en remplaçant successivement dans chaque terme de w une quelconque des différentielles dx; qui y figurent par dX.
Pour que I, soit un invariant intégral absolu, il faudra que l’inté-
grale fa soit nulle, quel que soit le domaine d'intégration, c’est-
à-dire que tous les coefficients B,,., soient nuls, et ces condi- D
tions sont évidemment suffisantes, Donc, pour que l'intégrale
(10) | joe ps dx, dx, ed dx,
soit un invariant intégral absolu, il faut et il suffit que l’on ait, pour toutes les combinaisons d'indices p à p, les relations
rie : x n 2 »
ae oXh (EP EX Be TN "à + ? À ho se apOR, F h=1 4 0X} 0Xh ) me De a An
Pour que l'intégrale (10) soit un invariant intégral relatif, il
faudra que l'intégrale L w' soit un invariant absolu, On obtiendra
les mêmes conditions en écrivant que l'intégrale f Q, étendue à
une multiplicité fermée quelconque, est nulle, c’est-à-dire que l’on a Q' = 0 identiquement (!).
(‘} La recherche des invariants intégraux se rattache à la théorie des transformations infinitésimales, Considérons X(f) comme le symbole d’une
transformation infinitésimale, à un invariant intégral du système (2) corres-
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Le système (2) étant donné, les fonctions X; sont connues et les C coefficients Aux, ... «, de la forme w doivent vérifier les C? équations du premier ordre (11), qui constituent un système normal (Leçons, n° 1). Ces équations admettent donc une infinité d’intégrales, ce qui est bien d'accord avec les résultats du paragraphe précédent. Comme vérification, sile système (2) a la forme canonique, on doit prendre X;=X,=..;=X, ;—0,Xx,—
; el et les équations (11) se réduisent à ns EU) n
Remarque.— Si les fonctions X; dépendent de #, les coefficients de w étant indépendants de #, le calcul précédent s’applique sans modifications, et on obtient les mêmes conditions (11) pour expri-
mer que fo est un invariant intégral. Au contraire, si les coeffi-
cients de w dépendent aussi de £, on voit aisément qu’il faudra ajouter des termes renfermant les dérivées de ces coefficients par rapport à é. | |
Il est à remarquer que les équations (r1) n’admettent pas toujours * d'intégrales indépendantes de £, lorsque les fonctions X; dépendent de é. Par exemple, le système
at 2 d£»
dl eTiL2
= dir.
n’admet pas d’invariant intégral de la forme fFdxidæ, F étant indé-
pond une forme symbolique admettant la transformation infinitésimale X(f) et réciproquement. La forme w étant donnée, la recherche des systèmes
d'équations différentielles pour lesquels fw est un invariant intégral revient
à la recherche des transformations infinitésimales qu’admet cette forme vw, Les transformations finies, par lesquelles une forme w se change en ellemême, forment évidémment un groupe, d'ordre fini ou infini, et la question est liée à la théorie des groupes, qui est en dehors du plan de cet ouvrage.
On connaît depuis longtemps un certain nombre d’intégrales, dans le plan ou dans l’espace, ayant une signification géométrique simple, qui conservent la même valeur pour toutes les transformations d’un groupe, tel que le groupe des mouvements, Ce sont sans doute les premiers exemples connus d’invariants intégraux. Par exemple, quand tous les coefficients de & sont constants, la forme Q sera identiquement nulle, si les fonctions X; se réduisent à des constantes, Le groupe correspondant se compose des translations de l’espace à n dimensions.
