CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

pendant de {, car le système (11) se compose dans ce cas d’une seule équation

a (a). + (enr) = 0,

et conduit à deux équations distinctes n’admettant que la solution banale F — o.

57. Invariants d'ordre n,et n — 1. — Un invariant intégral d'ordren -

pe fre As Be D Di Ta RE TS

dépend d’un seul coefficient F ; la forme Q se compose d’un seul

terme, et, en égalant le coefficient : à zéro, on obtient une seule équa-

tion “Xp 7".

X(F)+ > 5 Dre rit que l’on peut encore écrire 0)

Or cette Pa a que F est un multiplicateur pour le SYS= tème (2), ce qui nous conduit à un théorème de H. Poincaré.

Pour que l'intégrale | Fdx; ... dx, soit un invariant inté-

gral du système (2), il faut et il suffit que F'soit un multiplica-

teur de ce système.

Avec un système de variables canoniques (y4, Yas ++. Unis S)s un invariant intégral est dé la forme L'Edy dus dest étant une fonction arbitraire de Uas Uos «es Yinas indépendante

de z. Les propriétés classiques du multiplicateur s’en déduisent bien aisément.

Un forme w de degré n en dx,, dx,, .…., dæ, est toujours une

forme dérivée; par conséquent, tout invariant intégral d'ordre x peut être déduit d’une infinité de manières, par l’opération (D), d’un invariant intégral d'ordre n — 1 (n° 54), et tous ces inva-

riants intégraux d'ordre ñ —1 ne diffèrent que par une intégrale de différentielle totale.

Inversement, H. Poincaré a. indiqué u une méthode qui sera généralisée plus loin (n° 61), permettant de déduire d’un ‘invariant intégral d'ordre 7 un invariant intégral d'ordre n— 1. Il suffit pour cela d'interpréter les résultats du n° 29 dans la théorie des invariants intégraux. Supposons que les dénominateurs X; des

équations (2) ne renferment pas #, et soit Q,, la forme symboli-

que de degré n— 1 | SO EE NOT EU RE St Re re EX, dx. ken En

où l'on ne prend que des signes te si n est impair, tandis que l’on prend alternativement le signe + et le signe — lorsque n est pair. On a

re X( dde … de,

de sorte que toute intégrale de l'équation X(f)— o est aussi une intégrale de l'équation ©, df = o, et réciproquement. Avec un système de variables canoniques (y,, y,, …, Yn—as 2), la forme ns sera divisible par dy,dy, ... dy, ,, et l’on aura

2 —Kdy,dy, dy, K pouvant être une fonction quelconque de y,, …, Re z. En

général Î Q,, ne sera pas un invariant intégral du système (2);

pour que Me, 4 soit un invariant intégral de ce système, il

faut et il suffit que le produit MK soit indépendant de s, ou, ce

qui revient au même, que MQ 1 SOit une forme dérivée. Ceci exige

que l’on ait

(MX) Es à vs MXy)