CHAPITRE I. —— FORMES CANONIQUES

Le système S; est complètement intégrable.

Si ce. système comprend r équations linéairement indépendantes, ces r équations sont équivalentes à un système de la forme

fi D: df, 6.7, die

ir …, fr étant r fonctions distinctes des variables be is La Le théorème est évidemment exact si À n’est pas nul, car le système S, est équivalent aux n équations

te; Din à Re dx

Ilest vrai aussi si le système S, ne contient que 7 — 1 équations

Hinéairement distinctes ; ces équations forment alors un système de

n — 1 équations différentielles ordinaires et admettent par conséquent n — 1 combinaisons intégrables distinctes

dfi=0, df;—=o0, .,., df,; —0o.

Prenons le cas où le système S, ne contient que r équations linéairement distinctes (r <[ n — 1). Adjoignons à ces r équations un système de nr — r — 1 équations linéaires

Andx, cr + AindX£r — LL PRE — 1,2, ..., nr 7 1),

dont les coefficients sont des fonctions des variables x;, choisies de façon. à former avec les r équations de S, un système de n — 1 équations différentielles ordinaires distinctes. L'intégration de ce système donne une famille de multiplicités intégrales à une dimension du système S: dépendant dense constantes arbitraires. Soient |

Nr C,, fs nes PEN na NE

l'intégrale générale de ce système auxiliaire, Imaginons maiïntenant que l’on fasse un changement de variables, en prenant un - nouveau système de variables (y,, y,, .…., y,) où y, = f,, y, =f;, …., Ya = fna a dernière variable y, restant arbitraire, à condition de former avec y,, Ys, .…., y,, un système de n variables indépendantes. Par ce changement de variables, la forme donnéew

est remplacée par une nouvelle forme D Yidyi, où l’on peut tou-

jours supposer que le coefficient Y, a l’une des valeurs géro ou un. En effet, si Y, n’est pas nul, on peut écrire

aU :aU et si l’on a pris U à la place de y, pour la dernière variable indépendante, la forme w devient, après le changement de variables,

OUEN dE 2 NS dy PE dy.

Quant au système S,, il est remplacé par le système S,(), qui doit être vérifié quand on y faity, —=C,,.….,y,; —=C,;, y,étantune variable indépendante, quelles que soient les constantes C,, C,, .

7, 6,1. On a-donc 6} = 0 pour toutes les valeurs de

l'indice z, et les coefficients Y; sont indépendants de la variable y,.. Le système S,(4) se compose donc de n — 1 équations où ne figurent que les na — 1 variables y,, y,, ..., y, 1,

(22) bidy, sou bi dun à — 0 (a — 1,2, .., n — 1),

. et nous avons avons remplacé un système de r équations à 7 variables par un système équivalent de r équations à » — 1 variables

seulement. Sir —n —2, le nouveau. système est complètement intégrable, et par suite il en est de même du premier. Sir n— >, le nouveau système (22) se déduit de la forme de Pfaff a n — x variables Y,dy, + . . + Y,,dy,, de la même façon queS, se déduit de la forme primitive. On pourra donc recommencer la même transformation sur le système (22), et ainsi de suite. Il est clair qu’on finira par obtenir un système équivalent à S, de r équations à r + 1 variables, c’est-à-dire un système complètement intégrable. La proposition énoncée est donc établie. | Cela étant, imaginons que l’on fasse un changement de variables de façon que dy, — 0, ..., dyr — o soient précisément r combinaisons intégrables distinctes du système S,(t). Ce système devant être vérifié quand on y remplace dys, …, dyr par