CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. |
si l’un des indices #, £ est supérieur à r. Ces relations prouvent en particulier que, si l’on regarde y,, y:, ..., yr Comme des paramètres, l'expression
Yrt4dyr+1 + + YrdYn
* est la différentielle totale d’une fonction U des variables yr44, .…., Yn; et l’on peut écrire
Yr11dyr+4 ei EE æ Yndyn = dU — ee dy RE ve ie S dur).
La fonction U est distincte des r variables y,, .…., ÿr, à moins que Ÿ;41, ..., Y, ne soient nuls, et dans ce cas on peut supposer U — o. Dans tout autre cas, on peut prendre U pour la nouvelle variable y,+1. Les nouvelles variables étant choisies de cette façon, on voit que w() a l’une des deux formes
Ydy, +. + Yrdyr, Yidy, +... + Yrdyr + dyr41.
La condition b;; —0, où l’on suppose 4 >r, devient alors Y | dYk variables y,, y:, .…, yr. Pour que le système S,() relatif à la
— o et prouve que les coefficients Y ne dépendent que des
forme w{t) soit équivalent aux r équations dy: —= O, ….) dyr — O0,
il faut en outre que le déterminant.
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soit différent de zéro, ce qui exige que r soit un nombre pair, r — 2p; résultat que l’on aurait pu prévoir «a priori d’après les propriétés des mineurs d’un déterminant symétrique gauche.
En résumé, le système S, se compose toujours d’un nombre pair 2p d'équations linéairement distinctes ; si l’on a pris un nouveau système de variables (y,, ..…, ÿn de façon que y,, .…, y+, soient
30 LEÇONS SUR LE SRE a PFAFF.
2p intégrales distinctes de Dee w peut être ramenée à l'une des
deux formes
1e) ne te LA de da QU). Yadys + =. + LEUVPS 1 ATSR PE © Yep n6 dépendant que des variables 41, Us 5e Haye
On aura le nombre 2p en cherchant l'ordre des premiers mineurs de À qui ne sont pas nuls. Quant au système complet qui détermine
les intégrales de S,, on pourra l'obtenir en écrivant ee Re da |
df= a dr, + + êl dr, —0.
est une combinaison linéaire des Re e système "A c'est-
à-dire en égalant à zéro tous les FOR d'ordre 2p+ 1
déduits du tableau : Pare HOT ie
Dit TE Fe n | Page Pa dre à MSA :
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Le système $,, ou le système complet équivalent, ne sont pas d’ ailleurs des systèmes différentiels Jane comme nous le
| verrons plus tard:
Pour reconnaître à laquelle des deux formes (E) ou (IT) on . ramener v, il suffit d'observer que, dans le premier cas, l'équation w(1) — 0 est distincte des équations du système SU), tandis que,
pour la forme (Il), «1 — 6 est une conséquence des équations de
S,4). La forme donnée w pourra donc être ramenée à
dans ce cas seulement. On aura la forme (I) si tous les déterminants d'ordre 2p + 1 | déduits du tableau |
Des 7 LS Net é, ee RE 7 A De Te (T;) I PR be LE CR ER SRTT PRIE PUS NP CEA à 2 | Xi X, DANTE
à la forme (IL), si l'équation w —0 est une conséquence des équations de S:, et
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