X(K) + HK

, | elle exprime que K est un multiplicateur pour le système (2), et nous retrouvons les invariants intégraux [,, considérés tout

d’abord.

58. Invariants du: premier ordre. — Soit & — À dx, rs SE A, ses une forme de Pfaff dont les ue A; sont des fonctions des n variables æ,, &,, ..., æ,, indépendantes de {. Pour que l'intégrale L= fu soit un invariant intégral absolu du système (»), les coefficients À; doivent satisfaire aux 7 relations

(13) X(A:) Ar A, De A, — O0, (re 1, 255 ñ)

G. Prob. , , 45

us

que l’on peut établir directement, ou qui se déduisent des conditions générales (11), quand on y suppose p=1. Ces conditions permettent de vérifier facilement que

AIX, +A,X, +... +A,X,— Cie

est une intégrale première du système (2), théorème dû aussi à H. Poincaré, et qui sera rattaché plus tard à une proposition plus générale (n° 63). | | |

Lorsque l’invariant intégral a été ramené à une forme canonique, les conditions (13) prennent une forme simple, qui conduit à un élégant théorème dû à M. Kœnigs (). Supposons d’abord que la forme w soit de classe impaire 2p + 1 < n ; si l'on a pris un sys- ù tème de variables y, yy, ..., Yys Sas Les +..5 ps Uis er Ug (2p + g +1=n) tel que w prenne la forme canonique

| o—=ady,+... +2,dy,+ dy, le système (2) est. remplacé par un système équivalent

DNA EE ee en an CR (14) RU en D ne OÙ Ÿ, Vies Yps us se. Zp, Us ++, Ug sont des fonctions des variables y, yi, £r, ur et de {. | | |

Pour exprimer que l'intégrale .

(15) 1, = fadi+ Vos + £5dY 9 + dy

est un invariant intégral (2) absolu du système (14), observons que la forme Q qui figure dans l'expression de la dérivée

prend dans ce cas une forme particulièrement simple

= 0Y\ +2,07 et + Z,dy, + Mi +. + £ AY,

(1) Comptes Rendus, tome CXXI, p. 875, Q décembre 1895. |

(2) La liaison entre ce problème et la recherche des transformations de contact infinitésimales est évidente (voir Sopaus Li, Theorie der Transformationsgruppen, tome II).

Pour que I, soit un invariant intégral, les fonctions Y, Y;, Zx doivent donc vérifier les n relations

À P P - 2Y 2Yk 2Y : SXks 2 y 2 ? kg = 0 au Faut Dry = «

(16) " per: 2Yk nt +54 » mt Dee 7% | A1 | k—1 À er (1, PAT P); (Ar, 23. q)- On satisfait d’une façon très élégante à ces conditions en introduisant la fonction auxiliaire.

(17) - Hd ss + Y; ET les 2p équations qui suivent La première deviennent | | FR er LE :

"1 AR en Onaensuite H Y—H— Fe $ 25% et, en substituant ces expressions dans la première et dans les g dernières relations (16), elles deviennent ‘à Eat 2H | | =. | (9) ‘3 ET PRE om, —° (Æ—31, 3, ter 9} ; Le système (14) est donc de la forme | x | 2 dsi A:

& (20) - =, di ue , (21) 7H 2 £R Le , :

(22) TH =Us …. dus U;, ? É

H étant une fonction quelconque de y,, ss Ypo La rt zp et de f,ne |

+ TE RS hs] F PRE. 410, 74 POSE NT MEN OO RER" DÉérRL., Vo Lnt re \ Hs LS PR OS AE RU RO EN NE TE CARO MEN SU IOE ER TUE à Ce : } CAE PRE pi DO SES ul ar Pa eh CE 2 : ' L LL he F7 VASR nid À TETE MlT »

* ; | “ ’ IN ET 4 34 0 RE LÉ AE , L è à d ’ CRUE DCE TEE #4 RD PA 1 S : ñ « .# = ‘ Nos TL LR 1 it .

renfermant pas les variables y, u,, ..., ug, et les fonctions U étant arbitraires. Ce système (14) est donc ramené au système canonique (20) suivi des équations (21) et (22). En particulier, si n—2p + 1, le système (22) disparaît.

Lorsque la forme w est de classe 2p, on peut de même choisir 2p + g —=n variables de façon que l’invariant I, ait la forme canonique

INR IE7 +... + RSI LISE

le système d'équations différentielles (14) étant remplacé par le sui-

vant

ya ee AOUp dzà Cdi. | dug dt,

(14°) eye DS ce ri ST TT ln ere les dénominateurs Y;, Z4, Un étant des fonctions des variables yi, LUS à Fi PRE MT ze, un et de {. Pour obtenir l'expression de a il est inutile de

recommencer le calcul ; il suffit évidemment de supprimer les termes qui renferment Ÿ et y dans l’expression obtenue plus haut. Les conditions (16) sont alors remplacées par les Ne

en a+ Sade Jade Ja

(im iniesint 20) (RSR; are NA hé Si l’on pose H— > 2rY%#, elles deviennent ==, |

oH 7 CH H — — — Li, — = Yi, — 21 L ouh Le système (14')se compose donc encore d'un système canonique | de 2p équations dyi 0H dzi °° 0H mel UE ROE ST à CON A

et d’un système de g équations

PU =Ur (A 2 2 9)

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