Composition des invariants intégraux. — Si les deux

intégrales Je &, Î 5, Où w et w sont deux formes symboliques du

même degré,sont des invariants intégraux d’un système d'équations

LS , 1 8t 5 AROATTAEUT d'A OO D FAIRE 1e

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ditbroliulles: ilest clair que l’intégrale [ Co+C's est un invariant

intégral du même système, quelles que soient les constantes c, C. Connaïissant deux invariants de degrés quelconques, L op, [ wg

du même système, on peut en déduire un nouvel invariant par une multiplication symbolique. |

Supposons d'abord que les dénominateurs X; du RTE d’équations différentielles

| ds den tie

(25) | HUE Len eu ne dépendent pas de #. On peut alors, par un changement de variables portant uniquement sur " les variables Xi, ramener ce système à une forme canonique |

(26) dy — dyz __ : dynA PR LA (o) (o) ME à Aa.

Soient p, 0 deux formes symboliques, de degrés pet q respecti-

vement, en dx,, ..., dx,, telles que les intégrales LH — Î Op;

Pe fe wq Soient deux invariants intégraux du système (25). Après

le changement de variables qui ramène le système (25) à la forme canonique (26), ces formes symboliques wp, wy se transforment en deux nouvelles formes symboliques 4, @y, dont les coefficients ne renferment pas z (n°55). Ilen est évidemment de même du produit

symbolique Q,Q7, et par conséquent sh OpQg est un invariant inté-

gral absolu du système canonique (26). L'intégrale Î wpog est donc

aussi un invariant intégral du système (25), et nous pouvons énoncer le théorème suivant, que H. Poincaré a déduit, par une analyse Savante, mais difficile à suivre, de l'étude des équations aux variations.

St les deux lintégrales k Op) Th wy sont deux invariants inté-