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(25), si l'opération précédente permet d’en déduire un invariant

intégral d'ordre x, on aura un multiplicateur du système. Si, en procédant d’une autre façon, on peut en déduire un autre invariant d'ordre n, le quotient de ces deux multiplicateurs donnera une intégrale du système, pouvant d’ailleurs se réduire à une constante. Supposons, par exemple, que l’on connaisse un invariant intégral

du second ordre I, — 1 w, d’un système de 2n équations, la puissance symbolique (w,)* n'étant pas nulle, et en outre deux intégrales /,, f, de ce système. L'intégrale LE f (w,)° est un inva-

riant intégral d'ordre n, ainsi que l'intégrale

ford.

Le quotient des deux formes symboliques

Catdfdfs.

est donc une nouvelle intégrale du système proposé. :

Le théorème classique de Poisson n’est qu’un cas particulier de cette remarque. Supposons que le système considéré soit un Système canonique. AE |

Rs OA M pr ER HA ALT UN (27) PPT AR QU (= 1,2,...,n)

Ce système admet l’invariant intégral (n° 58) :

n L = fu= f D dxidpi.

La puissance symbolique (w:)" est identique à n!dx,dp,.….dx,dp,, et par conséquent le système (27) admet pour multiplicateur l'unité, comme il est bien connu. D’autre part, si f et /, sont deux

intégrales de ce système, i (w,)—1df,df, est aussi un invariant

intégral d'ordre n. Or le produit symbolique sous le signe inté-