CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX

- & se , s , p) . . ‘ une expression linéaire par rapport aux dérivées ses , Satisfaisant à | 4 l 4 ra L : È F l’énoncé. Considérons la forme symbolique n Dn—1i — B;d2 DK ER Bed; SE dXndæx, +... ÆBrér NT LE TEE | ; E. 4 d’après sa définition même, on a | 1e Re.

et par suite, M désignant un multiplicateur du système GX | e. = + Mon idf = MB( far 2 dar: | 2600 Posons wn 1 = Mæh-1, et PE ORe que MB(f) est un multiplicateur du système (25) toutes les fois que f est une intégrale de X(f)=0o. Re I suit de là que l'intégrale [on—1df est un invariant intégral du Li tème (25) si #4 est une intégrale de l’équation X(f) = 0. | 55 AE que l’on prenne un système de variables canoniques TK (LTEAL LUE yn4 z) pour le système (25); la forme wn—4 s’écrira :° 4 on = Kdyidys .. dyn-1 £ Un-#ds, ÿ | Lea PES eu. ; : ee : | ; k RC: ; "5 K étant une fonction quelconque et Il:-2 une forme de degré n —2 où Re. ne figurent que les différentielles dyi. Les n — 1 intégrales D OnAdyi = 1 Un-—9dyidz (1 = 1,2,.. 3N— 1), 4 doivent être des invariants intégraux. Il faut donc que les n — 1 pro- Re duits symboliques Th-9dyi ne renferment pas =, et par suite que les . coefficients de la forme Ilh-2 soient indépendants de 5. L'intégrale +6) [ln -2ds est donc un invariant intégral. Si l’on revient aux variables 12 Mis Rs Pay NOT voit donc que la forme wn 1 est la somme de deux | ES Rs + “#0 formes | 2 | | 0e on=1 = H0n21 + Mn1, e | | \ de. À L --On1 étant la forme de degré n—1 définie plus haut (n0 57), et de Re js [1 étant un invariant intégral du système. On a donc * PRE . . ë: # < , $ : x ER nr:

on—1df = HQn-1df + Un—1df, À = Ê à = [HX(S) + A) Idf, PR A\(f) se déduisant, comme on vient de l’expliquer, de l’invariant inté- 5 | + à - ' 7 ae | ni.

gral d’ordre n — 1 Jura en remplaçant wn 1d/f par cette expres-

Sion, il vient

B(f} = 00e Eu x

Il est clair que la solution ainsi obtenue n'est pas plus générale que la première, car, si B(f) est une solution, il en est de même de B(f) + LX(f), quelle que soit la fonction L.

60. Invariants attachés aux trajectoires. — Reprenons un système de nr équations différentielles dx; X;dt,(i—1,2,...,n), où les X; ne dépendent pas de #, et soient fi, fa, …, f, , des intégrales premières distinctes, indépendantes de #, de ce système. Quand on multiplie toutes les fonctions X; par un même facteur indéterminé \(æx,. …, æ,), le nouveau système

dx dx da

(28) | FR Te se: GR x, Te Li | admet encore les n —1 intégrales f,, f,, .…., f, 1, et la dernière intégrale seule, où figure le temps, dépend de X. En d’autres termes, l'introduction du facteur À ne modifie pas les trajectoires, mais seulement la loi suivant laquelle chaque trajectoire est parcourue. CAEN | FER; |

Soit w une forme symbolique de degré pen df, ..., df,,, dont les coefficients ne dépendent eux-mêmes que de fi, f4, .…, fh 4 L'intégrale f w estun invariant intégral du système (28), quel que soit À (n° 55). Nous dirons dans la suite que cêt invariant intégral est attaché aux trajectoires du système d’équations différentelles dx; Xidt (1=1,2,...,n), et nous le désignerons par la notation. I;, quand nous voudrons mettre cette propriété en évidence. È |

Si nous prenons un nouveau système de variables (y,, CR à

Ynas &) OÙ Ya fs +, Yn à fn le système (28) est remplacé par un système | SARA

(29) Pre — nn LE, |

à ke

d” FE À AA | SES Le 7 SEL LUE e-ST Te 17 D pe "1 et, 1 (1 æ à d l'a 14 + t e ve, PAT VON PEN 2 VER PUIS à M EE Me dm « Ja E AE à CU LES NUES CR TER - DE PT bn CU, Um ee / ‘ - } -

bugs ie 7 hd FEV Lé RAR er - 3 . , A À” , * A Ve ' DT" . -

CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 237 où y peut être une fonction quelconque de y,, Yo, +, y,y 1, : Une

intégrale Î Q sera un invariant intégral de ce système, quel que

soit w, pourvu que la forme Q ne contienne ni z, ni dg. On voit par là ce qui distingue un invariant intégral absolu quelconque d’un système canonique d’un invariant intégral attaché aux trajectoires. |

Pour que hi Q soit un invariant absolu, il faut et il suffit que

les coefficients de Q ne dépendent pas de s.

Pour que [ Q soit un invariant attaché aux trajectoires, il "50e

faut que Q ne contienne ni 2, ni ds. l __ Il existe donc une infinité d’invariants intégraux d’un ordre quelconque (de 1 à n) attachés aux trajectoires pour un système F7

de nr équations différentielles. Soit Le Q un OUR intégral | | À absolu du système (2). Pour que cet invariant soit attaché aux tra- o Jectoires de ce système, il faut et il suffit que 7e Q soit encore un \ À invariant intégral pour le système obtenu en remplaçant X; par ÀX;, | Œ et cela quel que soit À. Supposons Q de degré p 56 | x

NÉ das dE, *+- dz,: #

par hypothèse, les coefficients A, ARR vérifient les condi- e

tions (11) (page 219) pour toutes les combinaisons d’indices p à p.

Ces coefficients doivent vérifier aussi les relations que l’on obtient É en remplaçant X; par ÀX;. Or, ces nouvelles relations deviennent, A en tenant compte des premières, | | Re - “à

A F nn '2

2). A ct

z 3 | A. eu ap Ah ER % Ah ne ap 4h Fr + Das s | — k=1 , F4 2 ; mn dÀ ‘1e

a À. … ap 4h %h dX | — 0, 4

” Xp . | DE.