ELA

e A ge , 2 Le . e “4 Ji

et doivent être vérifiées, quel que soit À. Si l’on y fait successive- 4 | #4 Re

Re PO OR ere SPP RTS SERANTTT SOL

\ ma LA

DO RTEULE COS V0 DA D Te T7. j PONT NT NU DE T7 PT || (Or A: DL LUN RTS EE ES 6 Pr A A een ne RPC DCE PS PE RTS AN , # sr re PME " Kerr 5} a ren NA SA Ka 4 y, or A dk ga à ‘ Aie | . / * ‘ V 4 À k $ v£ d 7 r Du:

ment À, ..., =, on voit que les coefficients À,

! ... Up

doivent vérifier toutes les relations :

(30) D2 Ab HP ap 1 Xi — TA

ME RE pour toutes les combinaisons des n indices p — 1 à p— 1. On peut

énoncer ce résultat de la façon suivante : Pour que f Q soit un

invariant intégral attaché aux trajectoires du système (2), il faut et il suffit que les coefficients de Q vérifient les conditions (11), et que toutes les équations du système de Pfaff attaché à la forme Q (n° 82) sotent vérifiées quand on y remplace dxi par \X; DR PL

Les conditions (30) expriment que les Rare de Pfaff &,, w,, …, lwr, associées à la forme symbolique Q s'expriment linéairement au moyen des (n—1) formes dfi, ..., df,,, en désignant par as fes ce fa un système de n — 1 intégrales distinctes de l’équation |

pa rar

; En effet, l'équation de Pfaff

| ñn

se TT . Up => Ar ++ Ap— dti = PES 0

& DAnX i=1 | sera vérifiée, d’après la relation (30), si l’on remplace x, &, ..., x, par des fonctions d’une variable indépendante satisfaisant aux équations (2), c’est-à-dire par des fonctions mi variable indépendante satisfaisant à n — 1 relations f,—=C,, ..., f, 1 = CG,

# | Les équations w — 0 sont donc des conséquences des

XXe .., Ap—1.

équations df, —0,...,df,; —0, et par suite les formes de Pfaff associées à la forme @ sont des combinaisons des n— 1 formes df dfs ..., df,,. La forme symbolique a s'exprime donc ellemême au moyen de ces différentielles seulement. Telle est la signification des conditions (30). Quant aux conditions générales (11), qui s’appliquent à tous les invariants intégraux, elles.

L CHAPITRE Ÿ- —— INVABIANTS INTÉGRAUX.

FOUT que 5 coefficients qe Q s'expriment aussi au moyen de Jan fes ces fraae CE

Remarque 1. — Lorsque fe est un invariant intégral attaché

aux trajectoires, il est à peu près évident que l'intégrale ;. a! est

aussi un invariant attaché aux trajectoires. En effet, si on a

ramené le système d'équations différentielles à une forme canoni-

que, à ne renferme que y1, .…., Yy u5 MY …. dy, etil est clair qu'il en est de même de 0. Il est aisé de vérifier ce résultat direc-

tement et sans aucune transformation.

Supposons, pour fixer les idées, que le degré p de @ soit pair;

la forme dérivée o! a pour expression

(ea de re PE DA ee and de, dE, 4

où l’on a posé é | | % Du en Mo a A LE k + À ‘ 2À 4 FT: Up fe À Se pl A 40 Ap—i .

’ 41 | Xp Il s’agit de montrer que les relations. | Re? re n | : i=1 Lee ou : DA . AS i

sont des conséquences des re HURe ( 1) et (30). : La relation à à vérifier peuts "écrire

CFE À | à 1 . + D 7” LEE p D MP == 08

ET DA | X(A ua) Pre an) EN > | ÉTRTES LT Fi DR

\ à ne Ki € ë , re: ; ] n elaou, en remplaçant X(A, a) Par Sa valeur t Lee de la re tion (11), | À, À La œ ; 2 .. « see FDA Der, dx Mon ere n «y Xi: A dX; RE à A G : Pur SAN 22. È À es O.

dX 1& ... Xp TX y ... Ap—1l Mais, p étant pair, on a A PAT TE À RS api? TP À :. Ap—1l LA è Xp—1?

et 1l reste ;

me, (24 nn ns CS cs)

cette relation résulte immédiatement des conditions (30).

Le calcul prouve aussi que le système formé par les équations (11) et (30) est équivalent au système formé par les équations (11) et (31). Ce résultat est bien d'accord avec les propositions établies antérieurement sur la classe d’une forme symbolique (n° 38). Si l’on remplace X; par dx; dansles équations (31) et (30), on obtient les deux systèmes d'équations de Pfaff S et S’, qui sont associés respectivement aux deux formes © et 0’, Les équations(31) et (30) expriment donc que les intégrales de ce système complètement intégrable font partie des n — r intégrales premières f, f,, .…, fn—1 du système (2). Si l’on suppose la forme Q ramenée à une forme réduite, elle ne contiendra donc dans son expression que les n — 1 intégrales premières de ce système et leurs différentielles.

C’est précisément ce qui a lieu pour une forme Q, lorsque IE est un invariant attaché aux trajectoires.

Remarque II. — Si l'intégrale jf Q est un invariant intégral atta- Ï «

ché aux trajectoires d’un système de n équations différentielles (2),

nous venons de voir que la forme @ est au plus de classe 7 — r.

. Réciproquement, soit

o, — Due Es PAP en de, une forme symbolique de degré p à n variables, et de classe inférieure à n. L'intégrale 1 w, est un invariant intégral attaché aux trajectoires pour un système au moins d'équations différentiel-

les. En effet les équations

— A . ee > Re api CR Da ou api 0 ê - =" qui se présentent dans l’étude de la classe d’une forme symbolique (n° 88), se réduisent à n—1 équations distinctes au plus, : - . N .

quand on y regarde À}, À, .…, À, Comme des inconnues. Soit

L4— X1,..…., Àn —Xh un système de solutions non toutes nulles;

nous avons démontré plus haut que fe, est un invariant intégral

attaché aux trajectoires pour le système

Eve” PS Le 4 8 pr