X: RÉ FU
Si w, est de classe ñn — r, les fonctions X; sont déterminées à un
,» e$t de classe nr —r, X1, .…, Xn dépendent linéairement de r coefficients arbitraires. La propriété peut encore
facteur près. Si w
s'établir sans aucun calcul. Si la forme w, peut s'exprimer au moyen de n— r fonctions distinctes f,, f,, ..., fn—r et de leurs
différentielles, [ w, est un invariant intégral l, pour tout système
LE
d'équations différentielles admettant les n—r intégrales premières
fa = Ci fe = Co) TR LP == Cres
61. Formation de ces invariants. — H. Poincaré (!) a indiqué rapidement un procédé permettant de déduire d’un inva-
(1) Les Méthodes nouvelles de La Mécanique Céleste (t. III, p. 33). G. Prob. 16
riant du second ordre un invariant du premier ordre, qui est précisément un invariant attaché aux trajectoires. On lui doit égale-
ment un procédé (2) pour déduire d’un invariant intégral d'ordre x un invariant intégral d'ordre n — 1. En réalité, la méthode de H. Poincaré s'applique à tout invariant intégral, quel qu'en soit l'ordre, et permet de déduire d’un invariant intégral absolu d'ordre p, non attaché aux trajectoires, un nouvel invariant intégral absolu d'ordre p— 1, attaché aux trajectoires.
Soit 1, — “1 o, = | DR dr da tm
un invariant intégral absolu non attaché aux trajectoires. Posons |
Cats … ép-4 =D A CUT ee. ap=At Xi;
i—1 l'invariant 1, n ‘étant pas attaché aux trajectoires, toutes les fonc-
tions Gi + une SONT) pas nulles à le fois. Soit wp 4 la Mere
symbolique de degré p— 1 üpA1 = RE PRRe ja un dx, Le JT ? ;
* l'intégrale ; wp1 est un invariant intégral absolu attaché aux ©
Hrarebtorses.
Il suffit, pour le démontrer, de vérifier que les relations
Ga) X (C
au . + . äp 4)
oXn MAC | NA Le PLUS + È (Cr. 54 api 2, Te. « Ca, ... ap—2h TR ir
sont des NES des conditions (11). Orona
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| (1) Acta Mathematica, t. XIII, p. 66 (1890).
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