Le système S:. Classe d’une forme de Pfaff. — Les

éléments linéaires singuliers, qui sont en même temps des éléments intégraux, véritient les équations du systèmes,, |

audx, RE Eden" Os (ÈS EL n),

Pe X,dx, +... + Xndn = 0

or on obtienten cdfotsnant au système $, l'équation w— 0. Il est

clair que ce système $, est lui-même un covariant de la forme w relativement à tout changement de variables.

Si l'équation w — 0 est une conséquence des équations de S,, le

système 5, est identique à $,. Si l'équation w — o est distincte des

équations de S,, le système S, comprend 2p + 1 équations distinc- :

tes. Supposons w ramenée à la forme (I) ; après ce changement de variables, S, est remplacé par le système

| dy —9, Ya 0) tandis que le système S, devient 6 | Si

dy, =0, dy;—=0, Es == 0, dapss = 0:

Le système S, est donc lui-même complètement intégrable. On voit de plus, d’après les calculs du paragraphe précédent, que, s’il n’est pas identique au système S,, on obtiendra la dernière intégrale de ce système Par une GHagr ane quand on aura ESTE le systèmes.

Soit c le nombre des intégrales distinctes du système S2, c'est-àdire 18 nombre des équations linéairement distinctes de ce système ; ce nombre c s'appelle la c/asse (1) de la forme de Pfaff w. Ce nombre c est égal au nombre minimum de variables au moyen desquelles puisse s’exprimer w par un changement de variables convenable (2?) .Nous avons démontré au paragraphe précédent que

si S: contient 2p, où 2p + 1 équations distinctes, la forme peut

être ramenée à la forme (1) ou à la forme (Il). Dans les deux cas, l'expression ainsi obtenue pour w ne dépend que de c variables. On

(‘) Cette expression a été introduite par Frobenius, (?} On dit qu’une variable figure dans une forme de Pfaff si elle figure sous le signe d ou dans l’un des coefficients.

Le"